Question

某市質(zhì)監(jiān)部門對(duì)市場(chǎng)上奶粉進(jìn)行質(zhì)量抽檢，現(xiàn)將9個(gè)進(jìn)口品牌奶粉的樣品編號(hào)為1，2，3，4，…，9；6個(gè)國產(chǎn)品牌奶粉的樣品編號(hào)為10，11，12，…，15，按進(jìn)口品牌及國產(chǎn)品牌分層進(jìn)行分層抽樣，從其中抽取5個(gè)樣品進(jìn)行首輪檢驗(yàn)，用P（i，j）表示編號(hào)為i，j（1≤i＜j≤15）的樣品首輪同時(shí)被抽到的概率．
（Ⅰ）求P（1，15）的值；
（Ⅱ）求所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和．

Answer 1

考點(diǎn)：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題,收集數(shù)據(jù)的方法,古典概型及其概率計(jì)算公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）由分層抽樣的方法從洋奶粉樣品中抽取3個(gè)，國產(chǎn)奶粉樣品中抽取2個(gè)，計(jì)算出P（1，15）的值；
（Ⅱ）分情況求出1≤i＜j≤9，10≤i＜j≤15和1≤i≤9＜j≤15時(shí)，P（i，j）的個(gè)數(shù)是多少，從而求出它們的和．

解答： 解：（Ⅰ）由分層抽樣可知：
首輪檢驗(yàn)從編號(hào)為1，2，3，…，9的洋品牌奶粉的樣品中抽取3個(gè)，
從編號(hào)為10，11，…，15的國產(chǎn)品牌奶粉的樣品中抽取2個(gè)，
∴P（1，15）=

C 2 8

C 3 9

•

C 1 5

C 2 6

=

1

9

；
（Ⅱ）①當(dāng)1≤i＜j≤9時(shí)，P（i，j）=

C 1 7

C 3 9

=

1

12

，
而這樣的P（i，j）有

C

2 9

=36個(gè)；
②當(dāng)10≤i＜j≤15時(shí)，P（i，j）=

1

C 2 6

=

1

15

，
而這樣的P（i，j）有

C

2 6

=15個(gè)；
③當(dāng)1≤i≤9＜j≤15時(shí)，P（i，j）=

C 2 8

C 3 9

•

C 1 5

C 2 6

=

1

9

，
而這樣的P（i，j）有

C

1 9

•

C

1 6

=54個(gè)；
所以，所有的P（i，j）（1≤i＜j≤15）的和為

1

12

×36+

1

15

×15+

1

9

×54=10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了分層抽樣法的應(yīng)用以及概率與數(shù)學(xué)期望的問題，解題的關(guān)鍵是理解題中P（i，j）的含義，以及（Ⅱ）中i、j的適當(dāng)分情況計(jì)算問題，是易錯(cuò)題．