Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心事為

2

2

，過其右焦點(diǎn)F₂作與x軸垂直的直線l與該橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與拋物線y²=4x交于C、D兩點(diǎn)，且

AB

=

2

2

CD

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過點(diǎn)M（2，0）的直線與橢圓E相交于G、H兩點(diǎn)，設(shè)P為橢圓E上一點(diǎn)，且滿足

OG

+

OH

=t

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)|

OG

-

OH

|＜

8 11

3

時(shí)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件推導(dǎo)出

c a = 2 2 b2 a = 2c a2+b2=c2

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線GH的方程為x=my+2，聯(lián)立

x=my+2 x2 32 + y2 16 =1

，得（m²+2）y²+4my-28=0，由此入手能求出實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l過右焦點(diǎn)F₂且于x軸垂直，
∴|AB|=

2b2

a

，|CD|=4

c

，
又∵橢圓E的離心率為

2

2

，且

AB

=

2

2

CD

，
∴

c a = 2 2 b2 a = 2c a2+b2=c2

，解得

a2=32 b2=16

，
∴橢圓E的方程為：

x2

32

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）由題意知直線GH的斜率不為0，設(shè)直線GH的方程為x=my+2，
聯(lián)立

x=my+2 x2 32 + y2 16 =1

，消去x得（m²+2）y²+4my-28=0，
設(shè)P（x，y），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
∴y1+y2=-

4m

m2+2

，y1y2=-

28

m2+2

，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=

8

m2+2

，
∵

OG

+

OH

=t

OP

，
∴

tx=x1+x2= 8 m2+2 ty=y1+y2=- 4m m2+2

，∴P(

8

t(m2+2)

，-

4m

t(m2+2)

)，
∵P點(diǎn)在橢圓上，∴將P點(diǎn)代入橢圓方程，得t²=

1

m2+2

，
∵|

OG

-

OH

|＜

8 11

3

，
∴|GH|²=（1+m²）（y₁-y₂）²
=（1+m²）[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=（1+m²）[（

-4m

m2+2

）²+

4×28

m2+2

]
=

32(1+m2)(4m+7)

(m2+2)2

＜

64×11

9

，
14m⁴+11m²-25＜0，∴0≤m²＜1，
∴t2=

1

m2+2

∈(

1

3

，

1

2

)，
∴t∈[-

2

2

，-

3

3

)∪(

3

3

，

2

2

]．
∴實(shí)數(shù)t的取值范圍是[-

2

2

，-

3

3

)∪(

3

3

，

2

2

]．

點(diǎn)評：本題考查橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要綜合運(yùn)用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．