Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心事為

2

2

，過其右焦點F₂作與x軸垂直的直線l與該橢圓交于A、B兩點，與拋物線y²=4x交于C、D兩點，且

AB

=

2

2

CD

．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）若過點M（2，0）的直線與橢圓E相交于G、H兩點，設(shè)P為橢圓E上一點，且滿足

OG

+

OH

=t

OP

（O為坐標原點），當|

OG

-

OH

|＜

8 11

3

時，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件推導(dǎo)出

c a = 2 2 b2 a = 2c a2+b2=c2

，由此能求出橢圓E的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線GH的方程為x=my+2，聯(lián)立

x=my+2 x2 32 + y2 16 =1

，得（m²+2）y²+4my-28=0，由此入手能求出實數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）∵直線l過右焦點F₂且于x軸垂直，
∴|AB|=

2b2

a

，|CD|=4

c

，
又∵橢圓E的離心率為

2

2

，且

AB

=

2

2

CD

，
∴

c a = 2 2 b2 a = 2c a2+b2=c2

，解得

a2=32 b2=16

，
∴橢圓E的方程為：

x2

32

+

y2

16

=1．
（Ⅱ）由題意知直線GH的斜率不為0，設(shè)直線GH的方程為x=my+2，
聯(lián)立

x=my+2 x2 32 + y2 16 =1

，消去x得（m²+2）y²+4my-28=0，
設(shè)P（x，y），G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），
∴y1+y2=-

4m

m2+2

，y1y2=-

28

m2+2

，
∴x₁+x₂=m（y₁+y₂）+4=

8

m2+2

，
∵

OG

+

OH

=t

OP

，
∴

tx=x1+x2= 8 m2+2 ty=y1+y2=- 4m m2+2

，∴P(

8

t(m2+2)

，-

4m

t(m2+2)

)，
∵P點在橢圓上，∴將P點代入橢圓方程，得t²=

1

m2+2

，
∵|

OG

-

OH

|＜

8 11

3

，
∴|GH|²=（1+m²）（y₁-y₂）²
=（1+m²）[（y₁+y₂）²-4y₁y₂]
=（1+m²）[（

-4m

m2+2

）²+

4×28

m2+2

]
=

32(1+m2)(4m+7)

(m2+2)2

＜

64×11

9

，
14m⁴+11m²-25＜0，∴0≤m²＜1，
∴t2=

1

m2+2

∈(

1

3

，

1

2

)，
∴t∈[-

2

2

，-

3

3

)∪(

3

3

，

2

2

]．
∴實數(shù)t的取值范圍是[-

2

2

，-

3

3

)∪(

3

3

，

2

2

]．

點評：本題考查橢圓方程的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，綜合性強，難度大，解題時要綜合運用直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．