【題目】如圖所示,在四棱錐中,底面是菱形,,交于點(diǎn),底面,的中點(diǎn),.

(1)求證: 平面;

(2)求異面直線所成角的余弦值;

(3)求與平面所成角的正弦值.

【答案】1)證明見詳解;(2;(3

【解析】

1)連接OF,可得OF為的中位線,OF∥DE,可得證明;

(2)連接C點(diǎn)與AD中點(diǎn)為x軸,CBy軸,CEz軸建立空間直角坐標(biāo)系,可得,的值,可得異面直線所成角的余弦值;

(3)可得平面EBD的一個(gè)法向量為,可得與平面所成角的正弦值.

解:(1

如圖,連接OF,因?yàn)榈酌?/span>是菱形,交于點(diǎn),

可得O點(diǎn)為BD的中點(diǎn),又的中點(diǎn),所以O(shè)F為的中位線,

可得OF∥DE,又,DE不在平面ACF內(nèi),

可得 平面;

2)如圖連接C點(diǎn)與AD中點(diǎn)位x軸,CBy軸,CEz軸建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為2,可得CE=2

可得E(0,02),O(,,0),A(,1,0),F(0,1,1),

可得:,,設(shè)異面直線所成角為

可得,

3)可得D (,-1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),

可得,,設(shè)平面EBD的一個(gè)法向量為,

可得,,可得的值可為,由

可得與平面所成角的正弦值為

=.

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