Question

設(shè)直線l過橢圓

x2

4

+y²=1的右焦點，與橢圓相交于A、B兩點，O是坐標原點，當△OAB的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：橢圓

x2

4

+y²=1的右焦點為（

3

，0），則設(shè)l：x=my+

3

，代入橢圓

x2

4

+y²=1，整理，利用韋達定理，根據(jù)S_△OAB=

1

2

•

3

•|y₁-y₂|，再利用換元法，結(jié)合基本不等式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：橢圓

x2

4

+y²=1的右焦點為（

3

，0），則設(shè)l：x=my+

3

，
代入橢圓

x2

4

+y²=1，整理可得（m²+4）y²+2

3

my-1=0，
設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），則y₁+y₂=-

2 3 m

m2+4

，y₁y₂=-

1

m2+4

，
∴|y₁-y₂|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

4 m2+1

m2+4

，
∴S_△OAB=

1

2

•

3

•|y₁-y₂|=

3

2

•

4 m2+1

m2+4

令

m2+1

=t（t≥1），則S_△OAB=2

3

•

t

t2+3

=2

3

•

1

t+ 3 t

≤1，
當且僅當t=

3

t

，即t=

3

時，△OAB的面積最大，
此時m=±

2

，直線l的方程為x=±

2

y+

3

．

點評：本題考查橢圓的性質(zhì)，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達定理的運用，正確表示△OAB的面積是關(guān)鍵．