Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=m（m≠1），a_n+1=2a_n+3^n-1．
（1）設(shè)b_n=

an+1

3n

，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在（1）的條件下，若對任意的正整數(shù)n，都有a_n+1≥a_n，求實(shí)數(shù)m最小的可能取值．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）由題意a_n+1=2a_n+3^n-1，得：a_n+1-3ⁿ=2（a_n-3^n-1），所以數(shù)列{a_n-3^n-1}是首項(xiàng)為m-1，公比為2的等比數(shù)列，進(jìn)而求出a_n，即可求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由對任意的正整數(shù)n，都有a_n+1≥a_n，可得m≥-2•(

3

2

)n-1+1，利用函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）由題意a_n+1=2a_n+3^n-1，
得：a_n+1-3ⁿ=2（a_n-3^n-1），
∴數(shù)列{a_n-3^n-1}是首項(xiàng)為m-1，公比為2的等比數(shù)列．
∴a_n-3^n-1=（m-1）•2^n-1，
∴a_n=3^n-1+（m-1）•2^n-1，
∵b_n=

an+1

3n

，
∴b_n=1+（m-1）•(

2

3

)n；
（2）∵對任意的正整數(shù)n，都有a_n+1≥a_n，
∴3ⁿ+（m-1）•2ⁿ≥3^n-1+（m-1）•2^n-1，
∴m≥-2•(

3

2

)n-1+1，
∵f（x）=-2•(

3

2

)x-1+1在R上單調(diào)遞減，
∴m≥-2+1=-1，
∴實(shí)數(shù)m最小的可能取值為-1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查恒成立問題，考查等比數(shù)列的證明，正確構(gòu)造數(shù)列是關(guān)鍵．