Question

已知a₁=1，a_n+1=a_n+2n-1．求a_n與s_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）（第一個(gè)n是次方）

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：首先由給出的數(shù)列遞推式結(jié)合首項(xiàng)利用累加法求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；分n為偶數(shù)和奇數(shù)求解S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）．

解答： 解：由a_n+1=a_n+2n-1，得
a₂=a₁+2×1-1，
a₃=a₂+2×2-1，
a₄=a₃+2×3-1，
…
a_n=a_n-1+2n-1（n≥2）．
累加得：a_n=a₁+2（1+2+…+n）-n
=1+2×

n(n+1)

2

-n=n2+1（n≥2）．
驗(yàn)證n=1時(shí)上式不成立，
∴an=

1，n=1 n2+1，n≥2

；
S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）
=（3-1）+（7-5）+…+[（2n-1）-（2n-3）]=2×

n

2

=n；
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，S_n=-1+3-5+7+…+（-1）ⁿ（2n-1）
=（3-1）+（7-5）+…+[（2n-3）-（2n-5）]-（2n-1）
=2×

n-1

2

-(2n-1)=-n．
所以，S_n=

n，n為偶數(shù) -n，n為奇數(shù)

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了數(shù)列和的求法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．