Question

7．（1）若復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2-i，求|z+i|．
（2）已知函數(shù)f（x）=x⁴+x²-1，g（x）=ax³+x²+b（x∈R），其中a，b∈R．
設(shè)F（x）=f（x）+g（x），若對于任意的a∈[-2，2]，函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[-1，1]上的值恒為負(fù)數(shù)，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及模的計(jì)算公式即可得出；
（2）F（x）=f（x）+g（x）=x⁴+ax³+2x²+b-1，由函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[-1，1]上的值恒為負(fù)數(shù)，可得x⁴+ax³+2x²+b-1＜0，即b＜-x⁴-ax³-2x²+1=h（x），x∈[-1，1]．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)h（x）的單調(diào)性與極值最值即可得出．

解答 解：（1）∵復(fù)數(shù)z滿足（1+i）z=2-i，∴z=$\frac{2-i}{1+i}$=$\frac{（2-i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=$\frac{1-3i}{2}$，∴z+i=$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}i$．
∴|z+i|=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（-\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（2）F（x）=f（x）+g（x）=x⁴+ax³+2x²+b-1，
∵函數(shù)y=F（x）在區(qū)間[-1，1]上的值恒為負(fù)數(shù)，
∴x⁴+ax³+2x²+b-1＜0，即b＜-x⁴-ax³-2x²+1=h（x），x∈[-1，1]．
h′（x）=-4x³-3ax²-4x=-4x$（{x}^{2}+\frac{3}{4}ax+1）$，
對于一元二次方程：${x}^{2}+\frac{3}{4}ax+1$=0，∵a∈[-2，2]，
∴△=$\frac{9}{16}{a}^{2}$-4＜0．
∴?x∈[-1，1]，${x}^{2}+\frac{3}{4}ax+1$＞0恒成立．
令h′（x）＞0，解得-1≤x＜0，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞增；令h′（x）＜0，解得0＜x≤1，此時(shí)函數(shù)h（x）單調(diào)遞減．
又h（-1）=a-2，h（1）=-a-2，
∴h（x）_min={a-2，-a-2}_min，
∴b＜{a-2，-a-2}_min，a∈[-2，2]．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則及模的計(jì)算公式，考查了分類討論、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．