Question

1．已知圓C：ABCD，直線l₁過定點(diǎn)A （1，0）．
（1）若l₁與圓C相切，求l₁的方程；
（2）若l₁的傾斜角為45°，l₁與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）若l₁與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，求三角形CPQ的面積的最大值，并求此時(shí)直線l₁的方程．

Answer 1

分析 （1）直線l₁的斜率不存在時(shí)符合題意，直線l₁斜率存在由待定系數(shù)法和圓的知識(shí)可得；
（2）聯(lián)立直線l₁和CM方程，解方程組可得；
（3）由題意設(shè)直線方程為kx-y-k=0，由圓的弦長(zhǎng)和三角形的面積可得k的方程，解方程可得．

解答 解：（1）①若直線l₁的斜率不存在，則直線l₁：x=1，符合題意，
   ②若直線l₁斜率存在，設(shè)直線l₁的方程為y=k（x-1），即kx-y-k=0，
由題意知，圓心（3，4）到已知直線l₁的距離等于半徑2，
即$\frac{|3k-4-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$
∴所求直線l₁的方程為x=1或3x-4y-3=0


（2）直線l₁方程為y=x-1．∵PQ⊥CM，
∴CM方程為y-4=-（x-3），即x+y-7=0，
聯(lián)立方程組可得$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{x+y-7=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=3}\end{array}\right.$，
∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為（4，3）
（3）直線與圓相交，斜率必定存在，且不為0，設(shè)直線方程為kx-y-k=0，
則圓心到直線l₁的距離d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
又∵△CPQ的面積S=$\frac{1}{2}$d×2$\sqrt{4-xtxtp3x^{2}}$=d$\sqrt{4-zvxl9hp^{2}}$
=$\sqrt{4fjb99n1^{2}-drvxhfr^{4}}$=$\sqrt{-（hljdpzr^{2}-2）^{2}+4}$，
∴當(dāng)d=$\sqrt{2}$時(shí)，S取得最大值2．
∴d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，解得k=1或k=7
∴所求直線l₁方程為：x-y-1=0或7x-y-7=0

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和圓的位置關(guān)系，涉及點(diǎn)到直線的距離公式和三角形的面積，屬中檔題．