Question

6．已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2（n∈N^*）．
（Ⅰ）若{b_n }是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）若{a_n}是等差數(shù)列，且a_n≠0，問：{b_n}是否是等比數(shù)列？若是，求{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）再寫一式，兩式相減得a_nb_n=n•2ⁿ，利用{b_n }是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，可得b_n=2^n-1，所以a_n=2n，即可求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n；
（Ⅱ）$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{（n+1）•{2^{n+1}}}}{{{a_1}+nd}}•\frac{{{a_1}+nd-d}}{{n•{2^n}}}$，分類討論可得結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閍₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_nb_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
則n≥2時(shí)，a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃+…+a_n-1b_n-1=（n-2）•2ⁿ+2，
兩式相減，得a_nb_n=n•2ⁿ（n≥2），
當(dāng)n=1時(shí)，a₁b₁=2，滿足上式，所以a_nb_n=n•2ⁿ（n∈N^*），
又因?yàn)閧b_n }是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則b_n=2^n-1，所以a_n=2n，
故數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
所以${S_n}=\frac{n（2+2n）}{2}={n^2}+n$．（6分）
（Ⅱ）設(shè){a_n}的公差為d，則a_n=a₁+（n-1）d，由（Ⅰ）得${b_n}=\frac{{n•{2^n}}}{{{a_1}+（n-1）d}}$，（7分）
則$\frac{{{b_{n+1}}}}{b_n}=\frac{{（n+1）•{2^{n+1}}}}{{{a_1}+nd}}•\frac{{{a_1}+nd-d}}{{n•{2^n}}}$（8分）
=$\frac{{2（n+1）（{a_1}+nd-d）}}{{n（{a_1}+nd）}}$=$2•\frac{{n（{a_1}+nd）+{a_1}+nd-nd-d}}{{n（{a_1}+nd）}}$=$2[1+\frac{{{a_1}-d}}{{n（{a_1}+nd）}}]$．
故當(dāng)d=a₁時(shí)，數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，公比為2，此時(shí)a_n=na₁，${b_n}=\frac{2^n}{a_1}$；（10分）
當(dāng)d≠a₁時(shí)，數(shù)列{b_n}不是等比數(shù)列．（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．