【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC與BD交于O,PO⊥底面ABCD,PO=2,AB=2CD=2 ,E、F分別是AB、AP的中點.
(1)求證:AC⊥EF;
(2)求二面角F﹣OE﹣A的余弦值.

【答案】
(1)證明:由ABCD是等腰梯形,AB∥CD,且AC⊥BD,AC與BD交于O,可知:△OAB是等腰直角三角形,

∵AB=2CD=2 ,E是AB的中點,∴OE=EA=EB= ,可得OA=OB=2.

∵PO⊥底面ABCD,∴PO⊥OA,PO⊥OB.又OA⊥OB.

∴可以建立如圖所示的空間直角坐標系.

則O(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),E(1,1,0),F(xiàn)(1,0,1).

,

,∴EF⊥AO,即EF⊥AC


(2)解:由(1)可知: ,

設(shè)平面OEF的法向量為

,得 ,令x=1,則y=z=﹣1.

∵PO⊥平面OAE,∴可取 作為平面OAE的法向量.

= = =

由圖可知:二面角F﹣OE﹣A的平面角是銳角θ.

因此,


【解析】(1)通過建立空間直角坐標系,利用EF與AO的方向向量的數(shù)量積等于0,即可證明垂直;(2)利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角的余弦值.
【考點精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識,掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行.

練習冊系列答案
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A.3
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C.
D.

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