【題目】如圖，在三棱柱中，、分別為、的中點，，，.

⑴求證：平面；

⑵求二面角的正弦值；

⑶已知為棱上的點，若，求線段的長度.

【答案】（1）證明見解析（2）（3）

【解析】

（1）證明，，再根據(jù)，從而得到線面垂直的證明；

（2）以點為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，利用向量法求得二面角的余弦值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求得正弦值；

（3）結(jié)合（2）中，求得點，再求的值，從而求得線段的長度.

（1）在三角形中，且為的中點，

所以.①

在中，,.

連接，在中，，

所以.

又，所以，所以.②

又因為，③

由①②③，得平面.

（2）以點為坐標原點，分別以的方向為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，

所以.

設(shè)為平面的法向量，

則有即

令，得所以.

易得，且為平面的法向量，

所以，，

所以.

故所求二面角的正弦值為

（3）由（2）知.

設(shè)點，則.

又，，

所以，從而

即點.

所以.

所以.

練習冊系列答案
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】根據(jù)閱兵領(lǐng)導小組辦公室介紹，2019年國慶70周年閱兵有59個方(梯)隊和聯(lián)合軍樂團，總規(guī)模約1．5萬人，是近幾次閱兵中規(guī)模最大的一次．其中，徒步方隊15個．為了保證閱兵式時隊列保持整齊，各個方隊對受閱隊員的身高也有著非常嚴格的限制，太高或太矮都不行．徒步方隊隊員，男性身高普遍在175cm至185cm之間；女性身高普遍在163cm至175cm之間，這是常規(guī)標準．要求最為嚴格的三軍儀仗隊，其隊員的身高一般都在184cm至190cm之間．經(jīng)過隨機調(diào)查某個閱兵陣營中女子100人，得到她們身高的直方圖，如圖，記C為事件：“某一閱兵女子身高不低于169cm”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計值為0．5．

(1)求直方圖中a，b的值；

(2)估計這個陣營女子身高的平均值 (同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學所需時間（單位：分鐘），并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）．已知上學所需時間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．

（1）求直方圖中x的值；

（2）如果上學所需時間在的學生可申請在學校住宿，請估計該校800名新生中有多少名學生可以申請住宿．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù),則下列命題中正確命題的個數(shù)是（ ）

①函數(shù)在上為周期函數(shù)

②函數(shù)在區(qū)間,上單調(diào)遞增

③函數(shù)在（）取到最大值,且無最小值

④若方程（）有且僅有兩個不同的實根,則

A.個B.個C.個D.個

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若有兩個不同的零點，求的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】曲線是平面內(nèi)到直線和直線的距離之積等于常數(shù)（）的點的軌跡，下列四個結(jié)論：

①曲線過點；

②曲線關(guān)于點成中心對稱；

③若點在曲線上，點、分別在直線、上，則不小于；

④設(shè)為曲線上任意一點，則點關(guān)于直線，點及直線對稱的點分別為、、，則四邊形的面積為定值；

其中，所有正確結(jié)論的序號是________

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝xsinx的圖象是下列兩個圖象中的一個，如圖，請你選擇后再根據(jù)圖象作出下面的判斷：若x1，x2∈（），且f（x1）＜f（x2），則（　　 ）

A.x1＞x2B.x1+x2＞0C.x1＜x2D.x12＜x22

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，已知正三棱錐P-ABC的側(cè)面是直角三角形，PA=6，頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點E，連結(jié)PE并延長交AB于點G.

（Ⅰ）證明：G是AB的中點；

（Ⅱ）在圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由），并求四面體PDEF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】數(shù)列滿足對任意的恒成立，為其前n項的和，且，.

（1）求數(shù)列的通項；

（2）數(shù)列滿足，其中.

①證明：數(shù)列為等比數(shù)列；

②求集合

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