【題目】請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)包裝盒.如圖所示,ABCD是邊長(zhǎng)為60 cm的正方形硬紙片,切去陰影部分所示的四個(gè)全等的等腰直角三角形,再沿虛線折起,使得A,B,C,D四個(gè)點(diǎn)重合于圖中的點(diǎn)P,正好形成一個(gè)正四棱柱形狀的包裝盒.E、F在AB上,是被切去的一個(gè)等腰直角三角形斜邊的兩個(gè)端點(diǎn).設(shè)AE=FB=x(cm).
(1)若廣告商要求包裝盒的側(cè)面積S(cm2)最大,試問(wèn)x應(yīng)取何值?
(2)某廠商要求包裝盒的容積V(cm3)最大,試問(wèn)x應(yīng)取何值?并求出此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值.
【答案】(1) 當(dāng)x=15時(shí),S取得最大值.(2) x=20,包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為
【解析】試題分析:(1)先設(shè)包裝盒的高為,底面邊長(zhǎng)為,寫出, 與的關(guān)系式,并注明的取值范圍,再利用側(cè)面積公式表示出包裝盒側(cè)面積關(guān)于的函數(shù)解析式,最后求出何時(shí)它取得最大值即可;
(2)利用體積公式表示出包裝盒容積關(guān)于的函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)求出何時(shí)它取得的最大值即可.
設(shè)包裝盒的高為,底面邊長(zhǎng)為
由已知得
(1)∵2分
∴當(dāng)時(shí), 取得最大值 3分
(2)根據(jù)題意有5分
∴。
由得,(舍)或。
∴當(dāng)時(shí);當(dāng)時(shí)7分
∴當(dāng)時(shí)取得極大值,也是最大值,此時(shí)包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為
即包裝盒的高與底面邊長(zhǎng)的比值為10分.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)。
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求的單調(diào)遞減區(qū)間和極小值(其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù));
(2)若對(duì)任意恒成立,求的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在A,B兩家餐廳用餐的滿意度,從在A,B兩家餐廳都用過(guò)餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人,每人分別對(duì)這兩家餐廳進(jìn)行評(píng)分,滿分均為60分.
整理評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù),將分?jǐn)?shù)以為組距分成組:,,,,,,得到A餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖,和B餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表:
B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表 | |
分?jǐn)?shù)區(qū)間 | 頻數(shù) |
(Ⅰ)在抽樣的100人中,求對(duì)A餐廳評(píng)分低于30的人數(shù);
(Ⅱ)從對(duì)B餐廳評(píng)分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人,求2人中恰有1人評(píng)分在范圍內(nèi)的概率;
(Ⅲ)如果從A,B兩家餐廳中選擇一家用餐,你會(huì)選擇哪一家?說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),若方程恰有個(gè)互異的實(shí)數(shù)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】①設(shè)三個(gè)正實(shí)數(shù)a , b , c , 滿足 ,求證:a , b , c一定是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng);
②設(shè)n個(gè)正實(shí)數(shù) a1,a2,...an 滿足不等式 (其中 ),求證: a1,a2,...an 中任何三個(gè)數(shù)都是某一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,直線AB的方程為3x﹣2y﹣1=0,直線AC的方程為2x+3y﹣18=0.直線BC的方程為3x+4y﹣m=0(m≠25).
(1)求證:△ABC為直角三角形;
(2)當(dāng)△ABC的BC邊上的高為1時(shí),求m的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是橢圓:上任意一點(diǎn),線段的垂直平分線交于點(diǎn),點(diǎn)的軌跡記為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)過(guò)的直線交曲線于不同的,兩點(diǎn),交軸于點(diǎn),已知,,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】函數(shù),.
(1)若,設(shè),試證明存在唯一零點(diǎn),并求的最大值;
(2)若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù),求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓: ()的左焦點(diǎn)為,左準(zhǔn)線方程為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線交橢圓于, 兩點(diǎn).
①若直線經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn),交軸于點(diǎn),且滿足, .求證: 為定值;
②若(為原點(diǎn)),求面積的取值范圍.
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