【題目】已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),其離心率為,橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和拋物線的焦點(diǎn)重合.
(1)求橢圓的方程
(2)過點(diǎn)的動直線交橢圓于、兩點(diǎn),試問:在平面上是否存在一個(gè)定點(diǎn),使得無論如何轉(zhuǎn)動,以為直徑的圓恒過點(diǎn),若存在,說出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
【答案】(1)(2)定點(diǎn)
【解析】
試題分析:(1)先設(shè)處橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)離心率求的a和c的關(guān)系,進(jìn)而根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)求得c,進(jìn)而求得a,則b可得,進(jìn)而求的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若直線l與x軸重合,則以AB為直徑的圓是,若直線l垂直于x軸,則以AB為直徑的圓是.聯(lián)立兩個(gè)圓的方程求得其交點(diǎn)的坐標(biāo),推斷兩圓相切,進(jìn)而可判斷因此所求的點(diǎn)T如果存在,只能是這個(gè)切點(diǎn).證明時(shí)先看直線l垂直于x軸時(shí),以AB為直徑的圓過點(diǎn)T(1,0).再看直線l不垂直于x軸,可設(shè)出直線方程,與圓方程聯(lián)立消去y,記點(diǎn)A ,B ,根據(jù)韋達(dá)定理求得和的表達(dá)式,代入的表達(dá)式中,求得,進(jìn)而推斷TA⊥TB,即以AB為直徑的圓恒過點(diǎn)T(1,0).
試題解析:(1)拋物線焦點(diǎn)的坐標(biāo)為,則橢圓的焦點(diǎn)在軸上
設(shè)橢圓方程為
由題意可得,,,
∴ 橢圓方程為 ……3分
(2)若直線與軸重合,則以為直徑的圓是,
若直線垂直于軸,則以為直徑的圓是
由即兩圓相切于點(diǎn) ……5分因此所求的點(diǎn)如果存在,只能是,事實(shí)上,點(diǎn)就是所求的點(diǎn). ……6分
證明:當(dāng)直線垂直于軸時(shí),以為直徑的圓過點(diǎn),若直線不垂直于軸,
可設(shè)直線: 設(shè)點(diǎn),
由, ∴ ……9分
又 , ,
∴
……11分
∴ 即: 故以為直徑的圓恒過點(diǎn).
綜上可知:在坐標(biāo)平面上存在一個(gè)定點(diǎn)滿足條件. ……12分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中, CC1⊥平面ABC, AC⊥BC, AB1的中點(diǎn)為D,B1C∩BC1=E. 求證:
(1)DE∥平面AA1C1C;
(2)AC⊥平面BCC1B1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C,另一種是先從A沿索道乘纜車到B,然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50m/min.在甲出發(fā)2min后,乙從A乘纜車到B,在B處停留1min后,再從B勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動的速度為130m/min,山路AC長為1260m,經(jīng)測量,,.
(Ⅰ)問乙出發(fā)多少分鐘后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(Ⅱ)為使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過分鐘,乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn),點(diǎn)是圓上的任意一點(diǎn),線段的垂直平分線與直線交于點(diǎn).
(Ⅰ)求點(diǎn)的軌跡方程;
(Ⅱ)若直線與點(diǎn)的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和,且原點(diǎn)總在以為直徑的圓的內(nèi)部,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知國家某5A級大型景區(qū)對擁擠等級與每日游客數(shù)量(單位:百人)的關(guān)系有如下規(guī)定:當(dāng)時(shí),擁擠等級為“優(yōu)”;當(dāng)時(shí),擁擠等級為“良”;當(dāng)時(shí),擁擠等級為“擁擠”;當(dāng)時(shí),擁擠等級為“嚴(yán)重?fù)頂D”。該景區(qū)對6月份的游客數(shù)量作出如圖的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):
(Ⅰ)下面是根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)得到的頻率分布表,求出的值,并估計(jì)該景區(qū)6月份游客人數(shù)的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表);
游客數(shù)量 (單位:百人) | ||||
天數(shù) | ||||
頻率 |
(Ⅱ)某人選擇在6月1日至6月5日這5天中任選2天到該景區(qū)游玩,求他這2天遇到的游客擁擠等級均為“優(yōu)”的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】橢圓短軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)分別為A,B,直線與x軸、y軸分別交于兩點(diǎn)E,F(xiàn),交橢圓于兩點(diǎn)C,D.
(1)若,求直線的方程;
(2)設(shè)直線AD,CB的斜率分別為,若,求k的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)f(x)=si n-2cos2+1.
(1)求f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱,求當(dāng)x∈時(shí),y=g(x)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足:對于任意且時(shí),,.
(1)若,求證:為等比數(shù)列;
(2)若.
① 求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
② 是否存在,使得為數(shù)列中的項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的的值;若不存在,請說明理由.
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