Question

3．設(shè)函數(shù)f（x）=（1-ax）ln（x+1）-bx，a，b∈E，曲線y=f（x）恒與x軸相切于坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求常數(shù)b的值；
（2）若0≤x≤1時(shí)，關(guān)于x的不等式f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）f′（x）=-aln（x+1）+$\frac{1-ax}{x+1}$-b，根據(jù)條件知f′（0）=0，解出即可．
（2）由（1）得f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，0≤x≤1．f′（x）-aln（x+1）+$\frac{1-ax}{1+x}$-1，令g（x）=f′（x），g′（x）=-$\frac{ax+2a+1}{（1+x）^{2}}$．對a分類討論，研究函數(shù)g（x）的單調(diào)性極值與最值，進(jìn)而得出函數(shù)f（x）的極值與最值．

解答 解：（1）f′（x）=-aln（x+1）+$\frac{1-ax}{x+1}$-b，
根據(jù)條件知f′（0）=0，
∴1-b=0，解得b=1．
（2）由（1）得f（x）=（1-ax）ln（1+x）-x，0≤x≤1．
f′（x）-aln（x+1）+$\frac{1-ax}{1+x}$-1，
令g（x）=f′（x），
g′（x）=$\frac{-a}{x+1}$+$\frac{-a（1+x）-（1-ax）}{（1+x）^{2}}$=-$\frac{ax+2a+1}{（1+x）^{2}}$．
①當(dāng)a≤$-\frac{1}{2}$時(shí)，由于0≤x≤1，有g(shù)′（x）=-$\frac{a（x+\frac{2a+1}{a}）}{（1+x）^{2}}$≥0，于是f′（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，從而f′（x）≥f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上單調(diào)遞增，
即f（x）≥f（0）=0，而且僅有f（0）=0；
②當(dāng)a≥0時(shí)，由于0≤x≤1，有g(shù)′（x）=$-\frac{ax+2a+1}{（1+x）^{2}}$＜0，于是f′（x）在[0，1]上單調(diào)遞減，從而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，1]上單調(diào)遞減．
即f（x）≤f（0）=0，而且僅有f（0）=0；
③當(dāng)$-\frac{1}{2}＜a＜0$時(shí)，令m=min$\{1，-\frac{2a+1}{a}\}$，當(dāng)0≤x≤m時(shí)，g′（x）≤0，于是f′（x）在[0，m]上單調(diào)遞減，從而f′（x）≤f′（0）=0，因此f（x）在[0，m]上單調(diào)遞減，
即f（x）≤f（0）=0，而且僅有f（0）=0．
綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是$（-∞，-\frac{1}{2}]$．

點(diǎn)評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．