Question

14．已知a，b，c是正數，求證：a^2ab^2bc^2c≥a^b+cc^c+bb^c+a．

Answer 1

分析 通過作商、計算可知$\frac{{a}^{2a}^{2b}{c}^{2c}}{{a}^{b+c}^{c+a}{c}^{a+b}}$=$（\frac{a}）^{a-b}$$（\frac{a}{c}）^{a-c}$$（\frac{c}）^{b-c}$，利用a＞b＞c＞0可知$\frac{a}$、$\frac{a}{c}$、$\frac{c}$均大于1，且a-b、a-c、b-c均為正數，進而計算可得結論．

解答 證明：∵a，b，c是正數，
∴a^2ab^2bc^2c、a^b+cb^c+a+c^a+b均為正數，
∴$\frac{{a}^{2a}^{2b}{c}^{2c}}{{a}^{b+c}^{c+a}{c}^{a+b}}$
=a^a-ba^a-cb^b-cb^b-ac^c-ac^c-b
=$（\frac{a}）^{a-b}$$（\frac{a}{c}）^{a-c}$$（\frac{c}）^{b-c}$，
∵a≥b≥c＞0，
∴$\frac{a}$、$\frac{a}{c}$、$\frac{c}$均大于等于1，且a-b、a-c、b-c均為正數，
∴$（\frac{a}）^{a-b}$≥1，$（\frac{a}{c}）^{a-c}$≥1，$（\frac{c}）^{b-c}$≥1，
∴$（\frac{a}）^{a-b}$$（\frac{a}{c}）^{a-c}$$（\frac{c}）^{b-c}$≥1，
即a^2ab^2bc^2c≥a^b+cb^c+ac^a+b．

點評 本題考查不等式的證明，利用作商法是解決本題的關鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．