Question

（2009•普陀區(qū)一模）已知數(shù)列{a_n}中，a₁=0，an+1=

1

2-an

，n∈N^*．
（1）求證：{

1

an-1

}是等差數(shù)列；并求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）假設(shè)對于任意的正整數(shù)m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，則稱該數(shù)列為“ω域收斂數(shù)列”．試判斷：數(shù)列bn=an•(-

4

5

)n，n∈N^*是否為一個(gè)“

2

3

域收斂數(shù)列”，請說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題中所給出的等式，求數(shù)列{

1

an-1

}的相鄰兩項(xiàng)的差，并將這個(gè)差進(jìn)行化簡，最終得出這個(gè)差等于-1，得出數(shù)列{

1

an-1

}是公差為-1的等差數(shù)列，則不難通過數(shù)列{

1

an-1

}求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）bn=an•(-

4

5

)n，說明數(shù)列{b_n}的奇數(shù)項(xiàng)為負(fù)數(shù)，偶數(shù)項(xiàng)為正數(shù)．通過作差：|b_n+1|-|b_n|，化簡得|b_n+1|-|b_n|=(

4

5

)n•

-n2+5

5n(n+1)

，討論得當(dāng)n=3時(shí)，|b₃|是數(shù)列{|b_n|}的最大項(xiàng)，但是b₃＜0，說明b₃是{b_n}最小的項(xiàng)，而在正數(shù)項(xiàng)中，絕對第二大的項(xiàng)可能是b₂或b₄，通過作差比較可得b₂是數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．在此基礎(chǔ)之上不難用定義：對于任意的正整數(shù)m、n，都有|b_n-b_m|＜ω，則稱該數(shù)列為“ω域收斂數(shù)列”，證明數(shù)列{b_n}是一個(gè)“

2

3

域收斂數(shù)列”了．

解答：證：（1）因?yàn)?span id="fnrvbl7" class="MathJye">

1

an+1-1

=

1

1 2-an -1

=

2-an

an-1

=-1+

1

an-1

，
所以

1

an+1-1

-

1

an-1

=-1，n∈N^*；
故{

1

an-1

}是等差數(shù)列．
由此可得，

1

an-1

=

1

a1-1

+(n-1)×(-1)=-n，
所以an=1-

1

n

=

n-1

n

，n∈N^*．
（2）由條件bn=an•(-

4

5

)n，
可知當(dāng)n=2k，b_n＞0；當(dāng)n=2k-1時(shí)，b_n≤0，k∈N^*．
令|bn|=an•(

4

5

)n，則|bn+1|-|bn|=

n

n+1

•(

4

5

)n+1-

n-1

n

•(

4

5

)n=(

4

5

)n[

4

5

•

n

n+1

-

n-1

n

]=(

4

5

)n•

-n2+5

5n(n+1)

．
∴當(dāng)-n²+5＞0⇒n≤2時(shí)，|b_n+1|＞|b_n|；
同理可得，當(dāng)-n²+5＜0⇒n≥3時(shí)，|b_n+1|＜|b_n|；
即數(shù)列{|b_n|}在n=1，2，3時(shí)遞增；n≥4時(shí)，遞減；
即|b₃|是數(shù)列{|b_n|}的最大項(xiàng)．
然而，因?yàn)閧b_n}的奇數(shù)項(xiàng)均為-|b_n|，故b3=-

2

3

•(

4

5

)3=-

128

375

為數(shù)列{b_n}的最小項(xiàng)；
而b2=

1

2

(

4

5

)2=

8

25

=0.32，b4=

3

4

•(

4

5

)4=

192

625

=0.3072，
所以b₂＞b₄，故b₂是數(shù)列{b_n}的最大項(xiàng)．
∴對任意的正整數(shù)m、n，|bn-bm|≤|b2-b3|=|

8

25

+

128

375

|=

248

375

＜

2

3

，
∴數(shù)列bn=an•(-

4

5

)n，n∈N^*是一個(gè)“

2

3

域收斂數(shù)列”．

點(diǎn)評：本題是一道由一個(gè)數(shù)列為基礎(chǔ)，同時(shí)考查了函數(shù)不等式的相關(guān)知識，屬于難題．著重考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意認(rèn)真審題，仔細(xì)計(jì)算．