Question

已知函數(shù)f(x)=log

1

2

1-kx

x-1

為奇函數(shù)．
（I）求常數(shù)k的值；
（Ⅱ）若a＞b＞1，試比較f（a）與f（b）的大��；
（Ⅲ）若函數(shù)g(x)=f(x)-(

1

2

)x+m，且g（x）在區(qū)間[3，4]上沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：不等式比較大小,函數(shù)的零點

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（I）由于f（x）為奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），即可得出k；
（II）利用對數(shù)函數(shù)y=log

1

2

x的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)通過作差即可得出；
（III）利用（II）函數(shù)f（x）的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（I）∵f(x)=log

1

2

1-kx

x-1

為奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），
即log

1

2

1+kx

-x-1

=-log

1

2

1-kx

x-1

=log

1

2

x-1

1-kx

，
∴

1+kx

-x-1

=

x-1

1-kx

，即1-k²x²=1-x²，整理得k²=1．
∴k=-1（k=1使f（x）無意義而舍去）．
（Ⅱ）∵f(x)=log

1

2

1+x

x-1

．
∴f（a）-f（b）=log

1

2

1+a

a-1

-log

1

2

1+b

b-1

=log

1

2

1+a a-1

1+b b-1

=log

1

2

(1+a)(b-1)

(a-1)(1+b)

=log

1

2

ab-a+b-1

ab+a-b-1

．
當a＞b＞1時，ab+a-b-1＞ab-a+b-1＞0，
∴0＜

ab-a+b-1

ab+a-b-1

＜1，
從而log

1

2

ab-a+b-1

ab+a-b-1

＞log

1

2

1=0，
即f（a）-f（b）＞0．
∴f（a）＞f（b）．
（Ⅲ）由（2）知，f（x）在（1，+∞）遞增，
∴g(x)=f(x)-(

1

2

)x+m在[3，4]遞增．
∵g（x）在區(qū)間[3，4]上沒有零點，
∴g（3）=log

1

2

1+3

3-1

-(

1

2

)3+m=-

9

8

+m＞0．
或g(4)=log

1

2

1+4

4-1

-(

1

2

)4+m=log

1

2

5

3

-

1

16

+m＜0，
∴m＞

9

8

或m＜

1

16

-log

1

2

5

3

．

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、分類討論等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．