Question

1．已知兩個(gè)集合A={x|m＜$\frac{1-x}{x}$}，B={x|log${\;}_{\frac{1}{2}}$x＞2}p：實(shí)數(shù)m為小于5的正整數(shù)，q：“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件．
（1）若p是真命題，求A∩B；
（2）若p且q為真命題，求m的值．

Answer 1

分析 （1）由p為真命題，得0＜m＜5，m∈N₊，分別化簡(jiǎn)集合A，B．當(dāng)0＜m＜4，m∈N₊時(shí)，B⊆A，可得A∩B=B．當(dāng)m=4時(shí)，A⊆B，A∩B=A，即可得出．
（2）由p且q為真命題，可得p為真命題，q為真命題，即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，因此集合B是集合A的真子集，即可得出．

解答 解：（1）由p為真命題，得0＜m＜5，m∈N₊，
則集合A={x|m＜$\frac{1-x}{x}$}=$\{x|0＜x＜\frac{1}{m+1}\}$．
又B={x|lo${g}_{\frac{1}{2}}$x＞2}={x|$0＜x＜\frac{1}{4}$}．
當(dāng)0＜m＜4，m∈N₊時(shí)，B⊆A，
∴A∩B=B={x|$0＜x＜\frac{1}{4}$}．
當(dāng)m=4時(shí)，A⊆B，所以A∩B=A=$\{x|0＜x＜\frac{1}{5}\}$．
（2）∵p且q為真命題，
∴p為真命題，q為真命題，
即“x∈A”是“x∈B”的必要不充分條件，
∴集合B是集合A的真子集，
∴$\frac{1}{m+1}＞\frac{1}{4}$且0＜m＜5，m∈N₊，
解得：m=1或m=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)易邏輯的判定、集合的運(yùn)算性質(zhì)、不等式的解法、函數(shù)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．