Question

3．如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，點B₁在底面內的射影恰好是BC的中點，且BC=CA=2．
（1）求證：平面ACC₁A₁⊥平面B₁C₁CB；
（2）若二面角B-AB₁-C₁的余弦值為$-\frac{5}{7}$，求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱AA₁的長度．

Answer 1

分析 （1）利用線面垂直的性質定理證明面面垂直
（2）建立空間直角坐標系，寫出對應點的坐標，利用余弦值求得邊長．

解答 解：（1）取BC中點M，連接B₁M，則B₁M⊥面ABC，
∴面BB₁C₁C⊥面ABC，
∵BC=面BB₁C₁C∩面ABC，AC⊥BC，
∴AC⊥面BB₁C₁C，
∵AC?面ACC₁A₁∴面ACC₁A₁⊥面BCC₁B₁
（2）取BC的中點為M，AB的中點M，連接OM，MB₁，
以MC為x軸，MO為y軸，MB₁為z軸，建立空間直角坐標系．AC=BC=2，AB=2$\sqrt{2}$，設B₁M=t，則A（1，2，0），B（-1，0，0），C（1，0，0），B₁（0，0，t），C₁（2，0，t），
則$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，-2，t），$\overrightarrow{AB}$=（-2，-2，0），$\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}$=（2，0，0），
設平面AB₁C₁法向量$\overrightarrow{n_2}=（x，y，z）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{{B}_{1}{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-x-2y+tz=0}\\{2x=0}\end{array}\right.$，取$\overrightarrow{{n}_{2}}$=$（0，1，\frac{2}{t}）$．
同理可得面AB₁B法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$=（1，-1，-$\frac{1}{t}$）．
∵$cos\left?{\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}}\right＞=-\frac{5}{7}$=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{-1-\frac{2}{{t}^{2}}}{\sqrt{1+\frac{4}{{t}^{2}}}\sqrt{2+\frac{1}{{t}^{2}}}}$，
t⁴+29t²-96=0，∴t=$\sqrt{3}$，∴BB₁=2．
∴斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱AA₁=BB₁=2．

點評 本題主要考查了線面關系的證明和空間向量在立體幾何中的應用，屬于中檔題，高考常有涉及．