Question

如圖，四棱錐E-ABCD中，ABCD是矩形，平面EAB⊥平面ABCD，AE=EB=BC=2，F(xiàn)為CE上的點，且BF⊥平面ACE．
（1）求證：AE⊥BE；
（2）求二面角A-CD-E的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題

專題：空間位置關(guān)系與距離,空間向量及應用

分析：（1）由已知條件推導出BC⊥平面EAB，BC⊥EA，BF⊥EA，從而得到EA⊥平面EBC，由此能夠證明EA⊥BE．
（2）以O(shè)為原點，分別以O(shè)E、OB所在直線為x軸，y軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-CD-E的余弦值．

解答： 解：（1）∵ABCD是矩形，∴BC⊥AB，
∵平面EAB⊥平面ABCD，
平面EAB∩平面ABCD=AB，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面EAB，
∵EA?平面EAB，∴BC⊥EA，
∵BF⊥平面ACE，EA?平面ACE，∴BF⊥EA，
又∵BC∩BF=B，BC?平面EBC，BF?平面EBC，
∴EA⊥平面EBC，
∵BE?平面EBC，∴EA⊥BE．
（2）以O(shè)為原點，分別以O(shè)E、OB所在直線為x軸，y軸，
如圖建立空間直角坐標系，
則由題意知E（

2

，0，0），C（0，

2

，2），D（0，-

2

，2），
∴

OE

=(

2

，0，0)，

CD

=(0，-2

2

，0)，

DE

=（

2

，

2

，-2），
由題意

OE

=(

2

，0，0)是平面ACD的一個法向量，
設(shè)平面ECD的法向量為

m

=（x，y，z），則

m • DE =0 m • CD =0

，
∴

2 x+ 2 y-2z=0 -2 2 y=0

，∴

m

=(

2

，0，1)
設(shè)二面角A-CD-E的平面角的大小為θ，由圖得0＜θ＜

π

2

，
∴cosθ=|cos＜

OE

，

m

＞|=|

2

2 × 3

|=

6

3

．
所以二面角A-CD-E的余弦值為

6

3

．

點評：本題考查異面直線的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．