Question

已知關于x方程x³+ax²+bx+c=0的三個根可以作為一橢圓，一雙曲線，一拋物線的離心率，則

b

a

的取值范圍（　　）

• A、（-2，-

  1

  2

  ）
• B、（-2，-1）
• C、（-1，-

  1

  2

  ）
• D、（-∞，-

  1

  2

  ）

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質(zhì),雙曲線的簡單性質(zhì)

專題：不等式的解法及應用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由拋物線的離心率為1，求得a，b和c的關系代入函數(shù)解析式消去c，整理成f（x）=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）的形式，設g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b橢圓和雙曲線的離心率的范圍確定兩根的范圍確定g（0）＞0，g（1）＜0，最后利用線性規(guī)劃求得

b

a

的范圍．

解答： 解：由拋物線的離心率為1，可得1+a+b+c=0，
即有c=-1-a-b，代入f（x）=x³+ax²+bx+c，
即f（x）=x³+ax²+bx-1-a-b
=（x-1）（x²+x+1）+a（x+1）（x-1）+b（x-1）
=（x-1）[x²+（a+1）x+1+a+b]，
設g（x）=x²+（a+1）x+1+a+b，
則g（x）=0的兩根滿足0＜x₁＜1，x₂＞1，
即有g（0）=1+a+b＞0且g（1）=3+2a+b＜0，
如圖，作出點（a，b）滿足的可行域，
即為圖中斜線部分（不含邊界），

b

a

=

b-0

a-0

表示（a，b）與原點的斜率，
求得P（-2，1），
由于OP的斜率為-

1

2

，
由圖象可得-2＜

b

a

＜-

1

2

．
故選A．

點評：本題主要考查了函數(shù)的零點和根的分布，圓錐曲線的共同特征，線性規(guī)劃的基礎知識．考查基礎知識的綜合運用．