Question

9．拋物線y=-x²上到直線4x+3y-8=0的距離取最小值時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)是$（\frac{2}{3}，-\frac{4}{9}）$．

Answer 1

分析 設(shè)拋物線上的任意一點(diǎn)為P（x，-x²）．則點(diǎn)P到直線的距離d=$\frac{|4x-3{x}^{2}-8|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{|3（x-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{20}{3}|}{5}$，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)拋物線上的任意一點(diǎn)為P（x，-x²）．
則點(diǎn)P到直線的距離d=$\frac{|4x-3{x}^{2}-8|}{\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}}$=$\frac{|3（x-\frac{2}{3}）^{2}+\frac{20}{3}|}{5}$≥$\frac{4}{3}$，當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)取等號(hào)．
∴$y=-（\frac{2}{3}）^{2}=-\frac{4}{9}$．
∴P$（\frac{2}{3}，-\frac{4}{9}）$．
故答案為：$（\frac{2}{3}，-\frac{4}{9}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、二次函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．