Question

8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a、b、c，且bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0
（1）求B；
（2）若|$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，利用正弦定理可得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC-sinA-sinC=0，利用和差化積與積化和差、三角形內(nèi)角和定理即可得出．
（2）取AC的中點(diǎn)D，由|$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$，可得$|\overrightarrow{BD}|$=$\sqrt{3}$．在△ABC中，由余弦定理可得：b²=a²+c²-ac．由中線長定理：${a}^{2}+{c}^{2}=2B{D}^{2}+\frac{^{2}}{2}$，化為a²+c²+ac=12，利用基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）∵bcosC+$\sqrt{3}$bsinC-a-c=0，
由正弦定理可得：sinBcosC+$\sqrt{3}$sinBsinC-sinA-sinC=0，
∴2sinBcos（C-$\frac{π}{3}$）=sinA+sinC，
∴sin（B+C-$\frac{π}{3}$）+sin（B-C+$\frac{π}{3}$）=sinA+sinC，
化為sin（$\frac{2π}{3}$-A）-sinA+sin（B-C+$\frac{π}{3}$）=sinC，
2cos$\frac{π}{3}$sin（$\frac{π}{3}$-A）+sin（B-C+$\frac{π}{3}$）=sinC，
sin（$\frac{π}{3}$-A）+sin（B-C+$\frac{π}{3}$）=sinC，
$2sin\frac{\frac{2π}{3}+B-A-C}{2}$$cos\frac{C-A-B}{2}$=sinC，
$2sin（B-\frac{π}{6}）cos（C-\frac{π}{2}）$=sinC，
2sin（B-$\frac{π}{6}$）sinC=sinC，
∵sinC≠0，
∴B=$\frac{π}{3}$．
（2）取AC的中點(diǎn)D，
∵|$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$|=2$\sqrt{3}$，$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BD}$．
∴$|\overrightarrow{BD}|$=$\sqrt{3}$．
在△ABC中，由余弦定理可得：b²=a²+c²-2accos60°=a²+c²-ac．
由中線長定理：${a}^{2}+{c}^{2}=2B{D}^{2}+\frac{^{2}}{2}$=6+$\frac{^{2}}{2}$，
∴a²+c²+ac=12，
∴12≥3ac，化為ac≤4．當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)取等號(hào)．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}acsinB$=$\frac{\sqrt{3}}{4}ac$$≤\frac{\sqrt{3}}{4}×4$=$\sqrt{3}$．
∴△ABC面積的最大值為$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理余弦定理、和差化積與積化和差、三角形內(nèi)角和定理、中線長定理、基本不等式的性質(zhì)、三角形的面積計(jì)算公式、向量的平行四邊形法則，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．