Question

（2012•豐臺區(qū)一模）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且Sn=2n-1．數(shù)列{b_n}滿足b₁=2，b_n+1-2b_n=8a_n．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明：數(shù)列{

bn

2n

}為等差數(shù)列，并求{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）設數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，是否存在常數(shù)λ，使得不等式(-1)nλ＜1+

Tn-6

Tn+1-6

（n∈N^*）恒成立？若存在，求出λ的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，即可求得數(shù)列{a_n}的通項公式；             
（Ⅱ）根據(jù)b_n+1-2b_n=8a_n，可得

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=2，從而可得{

bn

2n

}是首項為

b1

21

=1，公差為2的等差數(shù)列，由此可求{b_n}的通項公式；
（Ⅲ）存在常數(shù)λ使得不等式(-1)nλ＜1+

Tn-6

Tn+1-6

（n∈N^*）恒成立．利用錯位相減法求數(shù)列的和，再分類討論，利用分離參數(shù)法，即可得到結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：當n=1時 a1=S1=21-1=1；
當n≥2時 an=Sn-Sn-1=(2n-1)-(2n-1-1)=2n-1，
因為a₁=1適合通項公式an=2n-1．
所以 an=2n-1（n∈N^*）．                                     …（5分）
（Ⅱ）證明：因為 b_n+1-2b_n=8a_n，所以 bn+1-2bn=2n+2，即

bn+1

2n+1

-

bn

2n

=2．
所以{

bn

2n

}是首項為

b1

21

=1，公差為2的等差數(shù)列．
所以

bn

2n

=1+2(n-1)=2n-1，
所以bn=(2n-1)•2n．                                       …（9分）
（Ⅲ）解：存在常數(shù)λ使得不等式(-1)nλ＜1+

Tn-6

Tn+1-6

（n∈N^*）恒成立．
因為Tn=1•21+3•22+5•23+…+(2n-3)•2n-1+(2n-1)•2n①
所以2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-5）•2^n-1+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹②
由①-②得-Tn=2+23+24+…+2n+1-(2n-1)•2n+1，
化簡得Tn=(2n-3)•2n+1+6．
因為

Tn-6

Tn+1-6

=

(2n-3)•2n+1

(2n-1)•2n+2

=

2n-3

4n-2

=

1

2

-

2

4n-2

=

1

2

-

1

2n-1

，
（1）當n為奇數(shù)時，(-1)λ＜1+

Tn-6

Tn+1-6

，所以λ＞-1-

Tn-6

Tn+1-6

，即λ＞-

3

2

+

1

2n-1

．
所以當n=1時，-

3

2

+

1

2n-1

的最大值為-

1

2

，所以只需λ＞-

1

2

；
（2）當n為偶數(shù)時，λ＜1+

Tn-6

Tn+1-6

，所以λ＜

3

2

-

1

2n-1

，
所以當n=2時，

3

2

-

1

2n-1

的最小值為

7

6

，所以只需λ＜

7

6

；
由（1）（2）可知存在-

1

2

＜λ＜

7

6

，使得不等式(-1)nλ＜1+

Tn-6

Tn+1-6

（n∈N^*）恒成立．…（13分）

點評：本題考查數(shù)列的通項，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列的求和，考查存在性問題的探究，考查分離參數(shù)法的運用，屬于中檔題．