Question

9．已知函數(shù)F（x）=|2x+t|+x²+x+1（x∈R，t∈R，t為常數(shù)）
（Ⅰ）若t=-1，求F（x）的極值；
（Ⅱ）求F（x）在R上的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若t=-1，F(xiàn)（x）=|2x-1|+x²+x+1=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+2，x＜\frac{1}{2}\\{x}^{2}+3x，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分析函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)的極值；
（Ⅱ）根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分當(dāng)$-\frac{t}{2}$≤$-\frac{3}{2}$，即t≥3時(shí)，當(dāng)$-\frac{3}{2}$＜$-\frac{t}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即-1＜t＜3時(shí)和當(dāng)$-\frac{t}{2}$$≥\frac{1}{2}$，即t≤-1時(shí)三種情況，可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（I）若t=-1，F(xiàn)（x）=|2x-1|+x²+x+1=$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}-x+2，x＜\frac{1}{2}\\{x}^{2}+3x，x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
當(dāng)x$＜\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)F（x）=x²-x+2為減函數(shù)，
當(dāng)x$≥\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)F（x）=x²+3x為增函數(shù)，
故當(dāng)x=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)F（x）取極小值$\frac{7}{4}$；
（Ⅱ）當(dāng)x＜$-\frac{t}{2}$時(shí)，函數(shù)F（x）=x²-x+1-t的圖象是開口朝上，且以直線x=$\frac{1}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)x≥$-\frac{t}{2}$時(shí)，函數(shù)F（x）=x²+3x+1+t的圖象是開口朝上，且以直線x=-$\frac{3}{2}$為對(duì)稱軸的拋物線，
當(dāng)$-\frac{t}{2}$≤$-\frac{3}{2}$，即t≥3時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（-∞，-$\frac{3}{2}$]，單調(diào)遞增區(qū)間為：[-$\frac{3}{2}$，+∞），
當(dāng)$-\frac{3}{2}$＜$-\frac{t}{2}$＜$\frac{1}{2}$，即-1＜t＜3時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（-∞，$-\frac{t}{2}$]，單調(diào)遞增區(qū)間為：[$-\frac{t}{2}$，+∞），
當(dāng)$-\frac{t}{2}$$≥\frac{1}{2}$，即t≤-1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：（-∞，$\frac{1}{2}$]，單調(diào)遞增區(qū)間為：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分段函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．