Question

20．若函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin2x+acos2x圖象關(guān)于x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱(chēng)，則實(shí)數(shù)a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 首先，利用輔助角公式，化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，然后，結(jié)合對(duì)稱(chēng)性建立等式求解即可．

解答 解：設(shè)函數(shù)y=f（x），
y=f（x）=$\frac{1}{2}$sin2x+acos2x
=$\sqrt{\frac{1}{4}+{a}^{2}}sin（2x+θ）$，
∵函數(shù)y=$\frac{1}{2}$sin2x+acos2x圖象關(guān)于x=$\frac{π}{12}$對(duì)稱(chēng)，
∴f（$\frac{π}{12}$）=±$\sqrt{\frac{1}{4}+{a}^{2}}$，
∴$\frac{1}{2}×sin\frac{π}{6}+acos\frac{π}{6}$=±$\sqrt{\frac{1}{4}+{a}^{2}}$，
∴（$\frac{1}{4}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}a$）²=$\frac{1}{4}$+a²，
∴$4{a}^{2}-4\sqrt{3}a+3=0$，
∴a=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性、最值，輔助角公式等知識(shí)，屬于中檔題．