Question

已知等差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），a₁，a₂，a₄恰為等比數(shù)列{b_n]的前3項(xiàng)，且b₄=8
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n]的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出(a1+d)2=a1(a1+3d)2，解得a₁=d，從而得到數(shù)列{b_n}的公比為2，又b₄=8，解得d=1，由此能求出a_n=n，bn=2n-1．
（2）由cn=anbn=n•2n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答： （1）解：∵差數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
a₁，a₂，a₄恰為等比數(shù)列{b_n]的前3項(xiàng)，
∴(a1+d)2=a1(a1+3d)2，解得a₁=d，
∴數(shù)列{b_n}的公比為2，又b₄=8，∴8d=8，解得d=1，
∴a_n=n，bn=2n-1．
（2）解：cn=anbn=n•2n-1，
Sn=1•20+2•2+3•22+…+n•2n-1，①
2S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，②
①-②，得-S_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ
=

1-2n

1-2

-n•2n
=（1-n）•2ⁿ-1，
∴Sn=(n-1)•2n+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．