【題目】(2015·湖北)《九章算術(shù)》中,將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬,將四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.
如圖,在陽馬P-ABCD中,側(cè)棱底面,且,過棱的中點,作交于點,連接
(1)證明:平面.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個面的直角(只需寫
出結(jié)論);若不是,說明理由;
(2)若面與面所成二面角的大小為 , 求的值.
【答案】
(1)
解答一:因為底面,所以,由底面為長方形,有,而,所以平面.而平面,所以.又因為,點是的中點,所以.而,所以平面.而平面,所以。又,,所以平面
.由平面,平面,可知四面體的四個面都是直角三角形,即四面體是一個鱉臑,其四個面的直角分別為.
解答二:如圖2,以D為原點,射線分別為軸的正半軸,建立空間直角坐標(biāo)系。設(shè),
則,,點E是PC的中點,所以,,于是
,即.又已知,而,所以平面.因,,則,所以平面,由平面,平面,可知四面體的四個面都是直角三角形,即四面體是一個鱉臑,其四個面的直角分別為.
(2)
【解析】(2)
解答一:如圖1,在面內(nèi),延長與交于點G,則DG是平面DEF與平面的交線,由(Ⅰ)知,平面,所以.又因為底面,所以。而,所以平面.故是面與面所成二面角的平面角,設(shè),,有,在RtPDB中,由,得,則,解得.所以.
故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時,.
解答二:
由平面,所以是平面的一個法向量;由(Ⅰ)知平面,所以是平面的一個法向量。若面與面所成二面角的大小為,則,解得.所以.故當(dāng)面與面所成二面角的大小為時,
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·四川)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點,與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點M,且M為線段AB的中點.若這樣的直線l恰有4條,則r的取值范圍是( )
A.(1,3)
B.(1, 4)
C.(2,3)
D.(2,4)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·江蘇) 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,bR).
(1)試討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若b=c-a(實數(shù)c是a與無關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個不同的零點時,a的取值范圍恰好是(-,-3)(1,)(,+),求c的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015·湖北)已知數(shù)列的各項均為正數(shù), , 為自然對數(shù)的底數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并比較與的大;
(2)計算 , , , 由此推測計算的公式,并給出證明;
(3)令 , 數(shù)列 , 的前項和分別記為,, 證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(2015福建)已知函數(shù)=.
(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)證明:當(dāng)x>1時,;
(3)確定實數(shù)k的所有可能取值,使得存在,當(dāng)時,恒有>.
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【題目】若n是一個三位正整數(shù),且n的個位數(shù)字大于十位數(shù)字,十位數(shù)字大于百位數(shù)字,則稱n為“三位遞增數(shù)”(如137,359,567等).在某次數(shù)學(xué)趣味活動中,每位參加者需從所有的“三位遞增數(shù)”中隨機(jī)抽取1個數(shù),且只能抽取一次.得分規(guī)則如下:若抽取的“三位遞增數(shù)”的三個數(shù)字之積不能被5整除,參加者得0分;若能被5整除,但不能被10整除,得-1分;若能被10整除,得1分.
(1)寫出所有個位數(shù)字是5的“三位遞增數(shù)” ;
(2)若甲參加活動,求甲得分X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:的離心率為,點和點都在橢圓上,直線交x軸于點M.
(1)(Ⅰ)求橢圓C的方程,并求點M的坐標(biāo)(用,表示);
(2)(Ⅱ)設(shè)為原點,點與點關(guān)于軸對稱,直線交X軸于點N.問:Y軸上是否存在點Q,使得?若存在,求點的坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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