【題目】(2015·江蘇) 已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+b(a,bR).
(1)試討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若b=c-a(實(shí)數(shù)c是a與無(wú)關(guān)的常數(shù)),當(dāng)函數(shù)f(x)有三個(gè)不同的零點(diǎn)時(shí),a的取值范圍恰好是(-,-3)(1,)(,+),求c的值.
【答案】
(1)
當(dāng)a=0時(shí),f(x)在(-, +)上單調(diào)遞增, 當(dāng)a>0時(shí),f(x)在(-, -), (0,+)上單調(diào)遞增, 在(-,0)上單調(diào)遞減,
當(dāng)a<0時(shí),f(x)在(-, 0), (-,+)上單調(diào)遞增, 在(0, -)上單調(diào)遞減。
(2)
c=1.
【解析】(1) f'(x)=3x2+2ax, 令 f'(x)=0, 解得x1=0, x2=-.
當(dāng)a=0時(shí),因?yàn)閒'(x)=3x2>0,(x≠0), 所以 函數(shù)f(x)(-, +)上單調(diào)遞增,當(dāng)a>0時(shí),x(-,-)(0,+)時(shí), f'(x)>0 , x(-,0), f'(x)<0 , 所以函數(shù)f(x)在(-, -), (0,+)上單調(diào)遞增, 在(-,0)上單調(diào)遞減。 當(dāng)a<0時(shí),x(-,0)(-, +)時(shí),f'(x)>0, x(0, -)時(shí),f'(x)<0, 所以 f(x)在(-, 0), (-,+)上單調(diào)遞增, 在(0, -)上單調(diào)遞減。
(2)由(1)知, 函數(shù)f(x)的兩個(gè)極值為f(0)=b,。妫ǎ)=a3+b,則函數(shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于f(0)·f(-)=b(a3+b)<0, 從而或, 又b=c-a,所以當(dāng)a>0時(shí),a3-a+c>0或當(dāng)a<0時(shí), a3-a+c<0.
設(shè)g(a)=a3-a+c,因?yàn)楹瘮?shù)f(x)有三個(gè)零點(diǎn)時(shí), a的取值范圍恰好是(-,-3)(1,)(,+), 則(-,-3)上g(a)<0,且在(1,)(,+)上g(a)>0均恒成立, 從而g(-3)=c-1≤0,且g()=c-1≥0, 因此c=1.
此時(shí), f(x)=x3+ax2+1-a=(x+1)[x2+(a-1)x+1-a], 因函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn), 則x2+(a-1)x+1-a有兩個(gè)異于-1的不等實(shí)根, 所以△=(a-1)2-4(1-a)=a2+2a-3>0, 且(-1)2-(a-1)+1-1≠0,解得a(-,-3)(1,)(,+). 綜上c=1.
【考點(diǎn)精析】利用函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的零點(diǎn)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);函數(shù)的單調(diào)性還有單調(diào)不增,和單調(diào)不減兩種;函數(shù)的零點(diǎn)就是方程的實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).即:方程有實(shí)數(shù)根,函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有交點(diǎn),函數(shù)有零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,長(zhǎng)方形ABCD的邊AB=2,BC=1,O是AB的中點(diǎn),點(diǎn)P沿著邊BC,CD與DA運(yùn)動(dòng),記BOP=x,將動(dòng)P到A、B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f(x),則y=f(x)的圖像大致為()
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2015·四川)如圖,四邊形ABCD和ADPQ均為正方形,它們所在的平面互相垂直,動(dòng)點(diǎn)M在線段PQ上,E、F分別為AB、BC的中點(diǎn)。設(shè)異面直線EM與AF所成的角為,則cos的最大值為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2015·陜西)“sin=cos”是“cos2=0”的( )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充分必要條件
D.既不充分也不必要條件
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2015·江蘇)在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.
(1)求BC的長(zhǎng);
(2)求sin2C的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2015·湖南)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形,E,F分別是BC,CC1的中點(diǎn)。
(1)證明:平面AEF⊥平面B1BCC1;
(2)若直線AC1與平面AA1BB1所成的角為45°,求三棱錐F-AEC的體積。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在幾何體ABCDE中,四邊形ABCD是矩形,AB⊥平面BEC,BE⊥EC,AB=BE=EC=2,G,F(xiàn)分別是線段BE,DC的中點(diǎn).
(Ⅰ)求證:BE//平面ADE ;
(Ⅱ)求平面AEF與平面BEC所成銳二面角的余弦值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(2015·湖北)《九章算術(shù)》中,將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.
如圖,在陽(yáng)馬P-ABCD中,側(cè)棱底面,且,過(guò)棱的中點(diǎn),作交于點(diǎn),連接
(1)證明:平面.試判斷四面體是否為鱉臑,若是,寫出其每個(gè)面的直角(只需寫
出結(jié)論);若不是,說(shuō)明理由;
(2)若面與面所成二面角的大小為 , 求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】
(2015·重慶)已知函數(shù)在處取得極值,問(wèn)(1)確定 α 的值;(2)若 = ,討論的單調(diào)性。。
(1)確定的值;
(2)若,討論的單調(diào)性。
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