Question

已知函數(shù)f（x₁）=

2

x+1

，f_n+1（x）=f₁（f_n（x）），且a_n=

fn(0)-1

fn(0)+2

（1）求證：{a_n}為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

(-1)n-1

2an

，g（n）=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N^*），求證：g（b_n）≥

n+2

2

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）依題意，可求得a₁=

1

4

，

an+1

an

=-

1

2

，從而可證得數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，繼而可得其通項(xiàng)公式；
（2）要證g（b_n）≥

n+2

2

，只要證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

≥

n+2

2

，利用數(shù)學(xué)歸納證明即可．

解答： 證明：（1）∵a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

，

an+1

an

=

fn+1(0)-1 fn+1(0)+2

fn(0)-1 fn(0)+2

=

2 fn(0)+1 -1 2 fn(0)+1 +2

fn(0)-1 fn(0)+2

=

1-fn(0) 2fn(0)+4

fn(0)-1 fn(0)+2

=-

1

2

，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為

1

4

，公比為-

1

2

的等比數(shù)列，
∴a_n=

1

4

•(-

1

2

)n-1．
（2）∵bn=2n，g(bn)=1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

，要證g（b_n）≥

n+2

2

，
只要證：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2n

≥

n+2

2

下面用數(shù)學(xué)歸納證明：n=1時(shí)，1+

1

2

=

1+2

2

，結(jié)論成立；
假設(shè)n=k，（k≥1）成立，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

＞

k+2

2

，
那么：n=k+1，1+

1

2

+

1

3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞

k+2

2

+

1

2k+1

+…+

1

2k+1

＞

k+2

2

+

1

2k+1

+

1

2k+1

…+

1

2k+1

＞

k+2

2

+

1

2k+1

2k=

k+3

2

，即n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立，
∴n∈N，結(jié)論成立，即g（b_n）≥

n+2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推關(guān)系的應(yīng)用，著重考查等比關(guān)系的確定與數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查運(yùn)算、推理論證的能力，屬于難題．