曲線E：
x2
m
+
y2
n
=1(m＞0，n＞0)與正方形M：|x|+|y|=4的邊界相切．
（1）求m+n的值；
（2）設(shè)直線l：y=x+b交曲線E于A，B，交M于C，D，且|CD|=4
2
．是否存在這樣的曲線E，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差數(shù)列？若存在，求出實(shí)數(shù)b的取值范圍；若不存在，請說明理由．
考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（1）由
x2
m
+
y2
n
=1
x+y=4
，得（n+m）x2-8mx+16m-mn=0，由△=0能求出m+n=16．
（2）由2|AB|=|CA|+|BD|，得|AB|=
4
2
3
，由
x2
m
+
y2
n
=1
y=x+b
，得（m+n）x2+2bmx+mb2-mn=0，由△＞0得b2＜m+n=16，mh|AB|=
2
•
4mn(16-b2)
16
=
4
2
3
，得
(16-b2)mn
=
32
3
，由此能求出存在這樣的直線l和曲線C，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差數(shù)列．
解答： 解：（1）由
x2
m
+
y2
n
=1
x+y=4
，得（n+m）x2-8mx+16m-mn=0，
△=64m2-4（m+n）（16m-mn）=0，
化簡，得4mn（m+n）-64mn=0，
又m＞0，n＞0，∴mn＞0，
∴m+n=16．
（2）由2|AB|=|CA|+|BD|，得3|AB|=4
2
，即|AB|=
4
2
3
，
由
x2
m
+
y2
n
=1
y=x+b
，得（m+n）x2+2bmx+mb2-mn=0，
由△=4m2b2-4（mb2-mn）（m+n）＞0，
得b2＜m+n=16，
且x1+x2=
-2bm
n+m
，x1x2=
mb2-mn
m+n
．
∴|AB|=
1+k2
•
4m2b2-4(mb2-mn)(m+n)
|a|

=
2
•
4mn(16-b2)
16
=
4
2
3
，
解得
(16-b2)mn
=
32
3
，
∴
32
3
•
1
16-b2
-
mn
≤
m+n
2
-8，
∴b2≤
128
9
，∴-
8
2
3
≤b≤
8
2
3
，符合b2＜m+n=16，
∴當(dāng)實(shí)數(shù)b的取值范圍是-
8
2
3
≤b≤
8
2
3
時，
存在這樣的直線l和曲線C，使得|CA|，|AB|，|BD|成等差數(shù)列．
點(diǎn)評：本題考查實(shí)數(shù)和的求法，考查使三條線段成等差數(shù)列的曲線是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．
練習(xí)冊系列答案
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試求關(guān)于x的函數(shù)y=-x2+mx+2在0≤x≤2上的最大值．

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數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n-1，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列且 b1=a1，b4=a1+a2+a3．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)Cn=
1
bnbn+1
，數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：Tn＜
1
2
．

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在極坐標(biāo)系中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=4
2
sin（θ+
π
4
）．現(xiàn)以點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸為x軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為
x=-2+
1
2
t
y=-3+
3
2
t
（t為參數(shù)）．
（I）寫出直線l和曲線C的普通方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l和曲線C交于A，B兩點(diǎn)，定點(diǎn)P（-2，-3），求|PA|•|PB|的值．

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已知函數(shù)f（x）=x2-2x-8，g（x）=（x+1）（x-a），（a為常數(shù)）．
（1）求不等式g（x）＜0的解集；
（2）若對一切x＞2，均有f（x）≥（m+2）x-m-15成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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求證：存在無窮多對正整數(shù)（a，b）滿足ab|a8+b4+1．

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已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n（n+1），
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an
（2）數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn=
1
an•an+2
，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn．

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已知函數(shù)f（x1）=
2
x+1
，fn+1（x）=f1（fn（x）），且an=
fn(0)-1
fn(0)+2

（1）求證：{an}為等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=
(-1)n-1
2an
，g（n）=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
（n∈N*），求證：g（bn）≥
n+2
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知P1（x1，x2），P2（x2，y2）是以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上的兩點(diǎn)，∠P1OP2=θ（θ為鈍角）．若sin（θ+
π
4
）=
3
5
，則的x1x2+y1y2值為
 
．

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