Question

已知函數f（x）=axlnx，（a≠0）．
（Ⅰ）求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）當a＜0時，若對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數求閉區(qū)間上函數的最值

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出函數的導數，令f′（x）=0，解得x=

1

e

．討論①當a＞0時②當a＜0時的情況，從而分別求出其單調區(qū)間，
（Ⅱ）當a＜0時，對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，設g（x）=axlnx-3ax-1，通過求導得出g（x）_min=g（e²）=-ae²-1，從而a＞-

1

e2

．

解答： 解：（Ⅰ）函數f（x的定義域為（0，+∞）．
因為f′（x）=a（lnx+1），
令f′（x）=0，解得x=

1

e

．
①當a＞0時，隨著x變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘		↗

即函數f（x）在（0，

1

e

）上單調遞減，在（

1

e

，+∞）上單調遞增．
②當a＜0時，隨著x變化時，f（x）和f′（x）的變化情況如下：

x	（0， 1 e ）	1 e	（ 1 e ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗		↘

即函數f（x）在（0，

1

e

）上單調遞增，在（

1

e

，+∞）上單調遞減．
（Ⅱ）當a＜0時，對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，
axlnx＜3ax+1．
所以axlnx-3ax-1＜0．
設g（x）=axlnx-3ax-1．
因為g′x）=a（lnx-2），
令g′（x）=0，解得x=e²．
因為a＜0，
所以隨著x變化時，g（x）和g′（x）的變化情況如下：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g′（x）	+	0	-
g（x）	↗		↘

即函數g（x）在（0，e²）上單調遞增，在（e²，+∞）上單調遞減．
所以g（x）_min=g（e²）=-ae²-1．
所以-ae²-1＜0．
所以a＞-

1

e2

．
所以a的取值范圍為（-

1

e2

，0）．
法二：
當a＜0時，對于任意的x∈（0，+∞），都有f（x）＜3ax+1成立，
即axlnx＜3ax+1．
所以a（xlnx-3x）＜1．
即

1

a

＜xlnx-3x．
設g（x）=xlnx-3x．
因為g′（x）=lnx-2，
令g′（x）=0，解得x=e²．
所以隨著x變化時，g（x）和g′（x）的變化情況如下：

x	（0，e2）	e2	（e2，+∞）
g′（x）	-	0	+
g（x）	↘		↗

即函數g（x）在（0，e²）上單調遞減，在（e²，+∞）上單調遞增．
所以g（x）_min=g（e²）=-e²．
所以

1

a

＜-e²．
所以a＞-

1

e2

．
所以a的取值范圍為（-

1

e2

，0）．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，參數的范圍，是一道綜合題．