Question

在等差數(shù)列{a_n}中，已知a₅=3，a₁₀=-7，求：
（1）求通項(xiàng)a_n和前n項(xiàng)和S_n；
（2）求S_n的最大值以及取得最大值時(shí)的序號(hào)n的值；
（3）數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列的函數(shù)特性,等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，由a₅=3，a₁₀=-7可求得a₁與d，從而可得通項(xiàng)a_n和前n項(xiàng)和S_n；
（2）由（1）知，S_n=12n-n²，對(duì)此式配方即可求得S_n的最大值以及取得最大值時(shí)的序號(hào)n的值；
（3）由

an=13-2n

，對(duì)n分n≤

13

2

與n＞

13

2

（n∈N^*）討論，利用等差數(shù)列的求和公式即可求得數(shù)列{|a_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d，

a5=a1+4d=3 a10=a1+9d=-7

⇒ a1=11 d=-2

，
∴

an=11-2(n-1)=13-2n

，
Sn=

n(11+13-2n)

2

=12n-n2…（5分）*
（2）∵Sn=12n-n2=-(n-6)2+36，
∴當(dāng)n=6時(shí)，（S_n）_max=36．…（7分）
（3）令

an=13-2n=0

，得n=

13

2

∴當(dāng)n≤

13

2

時(shí)，a_n＞0，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=12n-n²；
當(dāng)n＞

13

2

時(shí)，a_n＜0，T_n=|a₁|+|a₂|+…+|a_n|=a₁+a₂+…+a₆-a₇-a₈-…-a_n=n²-12n+72；
綜上所述：T_n=

12n-n2(n≤6，n∈N+) n2-12n+72(n≥7，n∈N+)

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：標(biāo)題考查數(shù)列的求和，著重考查數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式的綜合應(yīng)用，考查數(shù)列的函數(shù)特性（求最值），考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．