Question

已知函數(shù)f（x）=

2

x

（1）判斷f（x）奇偶性并證明；
（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的單調(diào)性？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的定義域，然后由f（-x）=-f（x）判定函數(shù)為奇函數(shù)；
（2）直接利用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明．

解答： 解：（1）f（x）=

2

x

是定義域內(nèi)的奇函數(shù)．
證明：函數(shù)）f（x）=

2

x

的定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
由f（-x）+f（x）=

2

-x

+

2

x

=0，得f（-x）=-f（x），
∴f（x）=

2

x

是定義域內(nèi)的奇函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
證明：在（0，+∞）上任取兩個(gè)實(shí)數(shù)x₁，x₂，且x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=

2

x1

-

2

x2

=

2(x2-x1)

x1x2

，
∵x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∴

2(x2-x1)

x1x2

＞0．
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的判斷與證明，關(guān)鍵是熟記證明步驟，是基礎(chǔ)題．