Question

4．若x-cos²θ=sin²θ-y，且x＞0，y＞0，則（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{y}$）的最小值為$\frac{25}{4}$．

Answer 1

分析 由平方關(guān)系可得x+y=1，由基本不等式求出xy的范圍，利用基本不等式化簡（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{y}$）后，利用換元法和函數(shù)的單調(diào)性求出式子的最小值．

解答 解：由x-cos²θ=sin²θ-y得，x+y=cos²θ+sin²θ=1，
又x＞0，y＞0，則$\sqrt{xy}≤\frac{x+y}{2}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號，
則0＜xy≤$\frac{1}{4}$，
所以（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{y}$）=xy+$\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$+$\frac{1}{xy}$≥xy+$\frac{1}{xy}$+2$\sqrt{\frac{x}{y}•\frac{y}{x}}$
=xy+$\frac{1}{xy}$+2，當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)取等號，
設(shè)t=xy，則0＜t≤$\frac{1}{4}$，
所以y=t+$\frac{1}{t}$+2在（0，$\frac{1}{4}$]上單調(diào)遞減，則當(dāng)t=$\frac{1}{4}$時(shí)取到最小值y=$\frac{25}{4}$，
所以（x+$\frac{1}{x}$）（y+$\frac{1}{y}$）的最小值是$\frac{25}{4}$，
故答案為：$\frac{25}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性求最值問題，以及換元法的應(yīng)用，考查化簡、變形能力．