【題目】(導(dǎo)學(xué)號(hào):05856264)
已知函數(shù)f(x)=aln x,e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)曲線f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2,求實(shí)數(shù)a的值;
(Ⅱ)若f(x)≥1-恒成立,求實(shí)數(shù)a的值取值范圍.
【答案】(1) a=±4 (2) a的值為1
【解析】試題分析:(1)求出曲線的切線方程,根據(jù)三角形面積公式求出a的值即可;
(2)問題等價(jià)于alnx+﹣1≥0在(0,+∞)恒成立,令g(x)=alnx+﹣1,而g(1)=0,只需x=1是函數(shù)的極值點(diǎn)即可求出a的值.
試題解析:
(Ⅰ)f′(x)=,則切線的斜率為f′(1)=a.故曲線f(x)在點(diǎn)A(1,f(1))處的切線方程為
y-f(1)=a(x-1),即y-0=a(x-1),
即y=a(x-1).
令x=0,得y=-a;令y=0,得x=1,
故切線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為(0,-a),(1,0).
所以切線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為×|-a|×1=2,解得a=±4.
(Ⅱ)由f(x)≥1-,得aln x≥1-,即aln x-1+≥0.
令g(x)=aln x-1+,則g(x)≥0恒成立.
因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=aln x-1+的定義域?yàn)?0,+∞),且g′(x)=-=,
①當(dāng)a<0時(shí),ax-1<0,則<0.即g′(x)<0.此時(shí)函數(shù)g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,且因?yàn)?/span>g(1)=0,
所以當(dāng)x∈(1,+∞),g(x)<0,不滿足g(x)≥0恒成立.故舍去.
②當(dāng)a>0時(shí),令g′(x)<0,得0<x<;
令g′(x)>0,得x>;
所以函數(shù)g(x)在(0,)上單調(diào)遞減,
在(,+∞)上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)g(x)的最小值為g().
因?yàn)?/span>g(1)=0,所以要使g(x)≥0恒成立,則g(1)必定是函數(shù)g(x)的最小值.
即=1,解得a=1.
綜上,實(shí)數(shù)a的值為1.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】四棱錐A-BCDE中,側(cè)棱AD⊥底面BCDE,底面BCDE是直角梯形,DE∥BC,BC⊥CD,BC=2AD=2DC=2DE=4,H,I分別是AD,AE的中點(diǎn).
(Ⅰ)在AB上求作一點(diǎn)F,BC上求作一點(diǎn)G,使得平面FGI∥平面ACD;
(Ⅱ)求平面CHI將四棱錐A-BCDE分成的兩部分的體積比.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(本小題共12分)
如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為直角梯形,AD//BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q為AD的中點(diǎn),M是棱PC上的點(diǎn),PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.
(1)求證:平面PQB⊥平面PAD;
(2)若二面角M-BQ-C為30°,設(shè)PM=tMC,試確定t的值.
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【題目】某地棚戶區(qū)改造建筑用地平面示意圖如圖所示,經(jīng)規(guī)劃調(diào)研確定,棚改規(guī)劃建筑用地區(qū)域近似為圓面,該圓面的內(nèi)接四邊形ABCD是原棚戶區(qū)建筑用地,測量可知邊界AB=AD=4萬米,BC=6萬米,CD=2萬米.
(1)請(qǐng)計(jì)算原棚戶區(qū)建筑用地ABCD的面積及AC的長;
(2)因地理?xiàng)l件的限制,邊界AD,DC不能變更,而邊界AB,BC可以調(diào)整,為了提高棚戶區(qū)建筑用地的利用率,請(qǐng)?jiān)?/span>上設(shè)計(jì)一點(diǎn)P,使得棚戶區(qū)改造后的新建筑用地APCD的面積最大,并求出最大值.
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【題目】隨著國家二孩政策的全面放開,為了調(diào)查一線城市和非一線城市的二孩生育意愿,某機(jī)構(gòu)用簡單隨機(jī)抽樣方法從不同地區(qū)調(diào)查了100位育齡婦女,結(jié)果如下表.
非一線 | 一線 | 總計(jì) | |
愿生 | 45 | 20 | 65 |
不愿生 | 13 | 22 | 35 |
總計(jì) | 58 | 42 | 100 |
由K2=,得K2=.
參照下表,
P(K2≥k) | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
k | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
正確的結(jié)論是( )
A. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”
B. 在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.1%的前提下,認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無關(guān)”
C. 有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別有關(guān)”
D. 有99%以上的把握認(rèn)為“生育意愿與城市級(jí)別無關(guān)”
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【題目】某項(xiàng)競賽分為初賽、復(fù)賽、決賽三個(gè)階段進(jìn)行,每個(gè)階段選手要回答一個(gè)問題.規(guī)定正確回答問題者進(jìn)入下一階段競賽,否則即遭淘汰.已知某選手通過初賽、復(fù)賽、決賽的概率分別是且各階段通過與否相互獨(dú)立.
(1)求該選手在復(fù)賽階段被淘汰的概率;
(2)設(shè)該選手在競賽中回答問題的個(gè)數(shù)為ξ,求ξ的分布列與均值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E在DC邊上,且DE=1,將△ADE沿AE折到△AD′E的位置,使得平面AD′E⊥平面ABCE.
(1)求證:AE⊥BD′;
(2)求三棱錐A-BCD′的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在極坐標(biāo)系中,設(shè)圓:=4 cos 與直線l:= (∈R)交于A,B兩點(diǎn).
(Ⅰ)求以AB為直徑的圓的極坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)在圓任取一點(diǎn),在圓上任取一點(diǎn),求的最大值.
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【題目】(導(dǎo)學(xué)號(hào):05856309)
已知拋物線C的方程為x2=4y,M(2,1)為拋物線C上一點(diǎn),F為拋物線的焦點(diǎn).
(Ⅰ)求|MF|;
(Ⅱ)設(shè)直線l2:y=kx+m與拋物線C有唯一公共點(diǎn)P,且與直線l1:y=-1相交于點(diǎn)Q,試問,在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N,使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N?若存在,求出點(diǎn)N的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
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