Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E在DC邊上，且DE＝1，將△ADE沿AE折到△AD′E的位置，使得平面AD′E⊥平面ABCE.

(1)求證：AE⊥BD′；

(2)求三棱錐A－BCD′的體積.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】試題分析：（Ⅰ）連接BD交AE于點O，推導出Rt△ABD～Rt△DAE，從而得到OB⊥AE，OD'⊥AE，由此能證明AE⊥平面OBD'．（Ⅱ）由VA﹣BCD'=VD'﹣ABC，能求出三棱錐A﹣BCD'的體積．

解析：

(1)連接BD交AE于點O，依題意得 ，所以Rt△ABD∽Rt△DAE，

所以∠DAE＝∠ABD，所以∠AOD＝90°，所以AE⊥BD，

則OB⊥AE，OD′⊥AE，

又OB∩OD′＝O，OB，OD′在平面OBD′內，

所以AE⊥平面OBD′，

又BD′平面OBD′，所以AE⊥BD′.

(2)因為平面AD′E⊥平面ABCE，

由(1)知，OD′⊥平面ABCE，

所以OD′為三棱錐D′－ABC的高，

在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，DE＝1，所以D′O＝，

所以VA－BCD′＝VD′－ABC＝S△ABC·D′O＝.

故三棱錐A－BCD′的體積為.