Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=

3

2

，a_n+1=a_n²-a_n+1（n∈N^*），則m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

的整數(shù)部分是（　　）

• A、0
• B、1
• C、2
• D、3

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題設(shè)知

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，通過累加，得m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=

1

a1-1

=2-

1

a2015-1

．由此能求出m的整數(shù)部分．

解答： 解：由題設(shè)知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴

1

an+1-1

=

1

an(an-1)

=

1

an-1

-

1

an

，
∴

1

an-1

-

1

an+1-1

=

1

an

，
通過累加，得
m=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2014

=

1

a1-1

=2-

1

a2015-1

．
由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，
即a_n+1≥a_n，
由a1=

3

2

，a2=

7

4

，a₃=

37

16

．
∴a₂₀₁₅≥a₂₀₁₄≥a₂₀₁₃≥…≥a₃＞2，
∴a₂₀₀₅-1＞1，
∴0＜

1

a2015-1

＜1，
∴1＜m＜2，
所以m的整數(shù)部分為1．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用數(shù)列的遞推式．