Question

已知函數(shù)f（x）=（ax²+x）•e^x，其中e是自然數(shù)的底數(shù)，a∈R，
（1）當(dāng)a＞0時，解不等式f（x）＞（a-1）e^x；
（2）若當(dāng)x∈[-1，1]時，不等式f（x）+（2ax+1）•e^x≥0恒成立，求a的取值范圍；
（3）當(dāng)a=0時，試判斷：是否存在整數(shù)k，使得方程f（x）=（x+1）•e^x+x-2在[k，k+1]上有解？若存在，請寫出所有可能的k的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得ax²+x-a+1＞0，由此能求出當(dāng)0＜a＜

1

2

時，原不等式的解集為（

a-1

a

，-1），當(dāng)a=

1

2

時，原不等式的解集為∅，當(dāng)a＞

1

2

時，原不等式的解集為（-1，

a-1

a

）．
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，不等式ax²+（2a+1）x+1≥0恒成立，由此分類討論，能求出a的取值范圍．
（3）方程即為e^x+x-2=0，設(shè)h（x）=e^x+x-2，由此利用函數(shù)的單調(diào)性能求出e^x+x-2=0有且僅有一個根，且在（0，1）內(nèi)，所以存在唯一的整數(shù)k=0．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）∵f（x）=（ax²+x）•e^x，f（x）＞（a-1）e^x，
∴（ax²+x）e^x-（a-1）e^x＞0，∴ax²+x-a+1＞0，
∵a＞0，∴x₁=-1，x₂=

a-1

a

，
∴當(dāng)0＜a＜

1

2

時，原不等式的解集為（

a-1

a

，-1），
當(dāng)a=

1

2

時，原不等式的解集為∅，
當(dāng)a＞

1

2

時，原不等式的解集為（-1，

a-1

a

）．
（2）當(dāng)x∈[-1，1]時，不等式ax²+（2a+1）x+1≥0恒成立，
①若a=0，則x+1≥0，該不等式滿足在x∈[-1，1]時恒成立；
②∵△=（2a+1）²-4a=4a²+1＞0，
∴g（x）=ax²+（2a+1）x+1有兩個零點，
若a＞0，則需滿足

a＞0 g(-1)≥0 - 2a+1 2a ≤-1

，此時a無解；
③若a＜0，則需滿足

a＜0 g(-1)≥0 g(1)≥0

，
即

a＜0 a＜0 a≥- 2 3

，所以-

2

3

≤a＜0
綜上所述，a的取值范圍是-

2

3

≤a≤0．
（3）方程即為e^x+x-2=0，設(shè)h（x）=e^x+x-2，
由于y=e^x和y=x-2均為增函數(shù)，則h（x）也是增函數(shù)，
又因為h（0）=e⁰+0-2=-1＜0，h（1）=e¹+1-2=e-1＞0，
所以該函數(shù)的零點在區(qū)間（0，1）上，
又由于函數(shù)為增函數(shù)，所以該函數(shù)有且僅有一個零點，
所以方程e^x+x-2=0有且僅有一個根，
且在（0，1）內(nèi)，所以存在唯一的整數(shù)k=0．

點評：本題考查方程的解法，考查a的取值范圍的求法，考查滿足條件的整數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)的合理運用．