已知為正常數(shù).(e=2.71828…);
(理科做)(1)若,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值與最小值
(2)若g(x)=|lnx|+φ(x),且對任意x1,x2∈(0,2],x1≠x2都有,求a的取值范圍.
(文科做)(1)當(dāng)a=2時描繪ϕ(x)的簡圖
(2)若,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值與最小值.
【答案】分析:(理科)(1)本小題需要先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),然后得出單調(diào)區(qū)間,利用單調(diào)性來求出函數(shù)的最大和最小值,屬于基本題目;
(2)本題函數(shù)g(x)=|lnx|+φ(x)含有絕對值號,考慮到去掉絕對值較為繁瑣,也不可行,因此采用整體上處理,即構(gòu)造一個新的函數(shù)來結(jié)合單調(diào)性求解,由已知,可以變形為,因此構(gòu)造函數(shù)ω(x)=g(x)+x,
,(a>0,x∈(0,2]),然后求解.
(文科)(1)本題的函數(shù)圖象簡圖的作法可以利用圖象變換來做,考查函數(shù)與函數(shù)的圖象之間的關(guān)系來作出;
(2)由已知求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù),利用單調(diào)性求出函數(shù)的最大(小)值來方法同(理科)(1)類似..
解答:解:(理科)(1)∵
(2分)
故當(dāng)時,f'(x)<0,即f(x)單調(diào)遞減,從而x∈[1,2)時,f(x)單調(diào)遞減,
當(dāng)時,f'(x)≥0,即f(x)單調(diào)遞增,從而x∈[2,e]時,f(x)單調(diào)遞增,(4分)
,故
(2)由
所以可設(shè)…(8分)
故由題設(shè)可知ω(x)在x∈(0,2]上為減函數(shù),
…(10分)
而 由可得
上是增函數(shù),

顯然當(dāng)
a=時,也成立,
所以a的取值范圍是[,+∞)…(14分)

(文科)(1)由已知,其圖象是由反比例函數(shù)圖象的圖象向左平行移動1個單位長度所得到,如圖:

(2)由已知f(x)=,于是有=,顯然f′(x)>0在[1,e]上恒成立,所以函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上為增函數(shù),
所以,
點(diǎn)評:本題考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)求最大(小)值,利用導(dǎo)數(shù)以及結(jié)合給定的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求解參數(shù)的范圍,另外考查了函數(shù)的圖象的畫法,綜合考查了數(shù)形結(jié)合思想,分類思想,函數(shù)與方程的思想,構(gòu)造函數(shù)解決問題的思想.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知及是實(shí)數(shù)集,e是自然對數(shù)的底數(shù),函數(shù)f(x)=
1+In(x+1)
x
的定義域?yàn)閧x|x>0,x∈R}
(I)解關(guān)于x的不等式f(x2+1)>
2
e-1

(II)若常數(shù)k是正整數(shù),當(dāng)x>0時,f(x)>
k
x+1
恒成立,求k的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知點(diǎn)P1(x0,y0)為雙曲線
x2
8b2
-
y2
b2
=1
(b為正常數(shù))上任一點(diǎn),F(xiàn)2為雙曲線的右焦點(diǎn),過P1作右準(zhǔn)線的垂線,垂足為A,連接F2A并延長交y軸于P2
(1)求線段P1P2的中點(diǎn)P的軌跡E的方程;
(2)設(shè)軌跡E與x軸交于B、D兩點(diǎn),在E上任取一點(diǎn)Q(x1,y1)(y1≠0),直線QB,QD分別交y軸于M,N兩點(diǎn).求證:以MN為直徑的圓過兩定點(diǎn).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知φ(x)=
a
x+1
,a
為正常數(shù).(e=2.71828…);
(理科做)(1)若f(x)=lnx+φ(x),且a=
9
2
,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值與最小值
(2)若g(x)=|lnx|+φ(x),且對任意x1,x2∈(0,2],x1≠x2都有
g(x2)-g(x1)
x2-x1
<-1
,求a的取值范圍.
(文科做)(1)當(dāng)a=2時描繪?(x)的簡圖
(2)若f(x)=?(x)+
1
?(x)
,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,e]上的最大值與最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

選作題,本題包括A、B、C、D四小題,請選定其中兩題,并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答.若多做,則按作答的前兩題評分.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
A.(幾何證明選講)
如圖,AB是半圓的直徑,C是AB延長線上一點(diǎn),CD切半圓于點(diǎn)D,CD=2,DE⊥AB,垂足為E,且E是OB的中點(diǎn),求BC的長.
B.(矩陣與變換)
已知矩陣
12
2a
的屬于特征值b的一個特征向量為
1
1
,求實(shí)數(shù)a、b的值.
C.(極坐標(biāo)與參數(shù)方程)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(1,-2)在曲線
x=2pt2
y=2pt
(t為參數(shù),p為正常數(shù)),求p的值.
D.(不等式選講)
設(shè)a1,a2,a3均為正數(shù),且a1+a2+a3=1,求證:
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
≥9

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