Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±

3

3

x，左焦點為F（-2，0）．
（1）求雙曲線的方程；
（2）已知直線y=

1

2

x+n交雙曲線于不同的兩點A、B，若FA⊥FB，求實數(shù)n的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由題意可得

b a = 3 3 c=2 c2=a2+b2

，解得即可；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．把直線與雙曲線的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出．

解答： 解：（1）∵雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y=±

3

3

x，左焦點為F（-2，0）．
∴

b a = 3 3 c=2 c2=a2+b2

，解得c=2，a=

3

，b=1．
∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

3

-y2=1．
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立

y= 1 2 x+n x2-3y2=3

，化為x²-12nx-12n²-12=0．
△=144n²+4（12n²+12）＞0．
∴x₁+x₂=12n，x₁x₂=-12n²-12．
∵

FA

⊥

FB

．
∴

FA

•

FB

=（x₁+2，y₁）•（x₂+2，y₂）
=（x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂
=x₁x₂+2（x₁+x₂）+4+(

1

2

x1+n)(

1

2

x2+n)
=

5

4

x1x2+(2+

n

2

)(x1+x2)+4+n²=0，
∴

5(-12n2-12)

4

+(2+

n

2

)×12n+4+n²=0，
化為8n²-24n+11=0，
解得n=

6± 14

4

．

點評：本題考查了雙曲線不知方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線的方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．