【題目】已知在四棱錐中， 為正三角形， ，底面為平行四邊形，平面平面，點是側(cè)棱的中點，平面與棱交于點.

(1)求證： ；

(2)若，求平面與平面所成二面角（銳角）的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）由底面是平行四邊形，利用線面平行的判定定理得面，在利用線面平行的性質(zhì)定理，即可證得．

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面和平面的一個法向量，利用空間向量的夾角公式，即可求解平面和平面的二面角的余弦值．

試題解析：

（1）∵底面是平行四邊形，∴，

又∵面面， 面，

又∵四點共面，且平面平面,

.

(2)取中點，連接側(cè)面為正三角形，故，又平面平面，且平面平面,平面, 在平行四邊形中， ，故為菱形， 且是中點， .

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系,

因為,則,

又,點是棱中點， 點是棱中點， ,

，設(shè)平面的法向量為,

則有, 不妨令,則平面的一個法向量為平面

是平面的一個法向量，

,

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題：“今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高二丈，問：積幾何?”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹男w，下底面寬3丈，長4丈，上棱長2丈，高2丈，問：它的體積是多少?”已知l丈為10尺，該楔體的三視圖如圖所示，其中網(wǎng)格紙上小正方形邊長為1，則該楔體的體積為（ ）

A. 10000立方尺 B. 11000立方尺

C. 12000立方尺 D. 13000立方尺

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班

6

7

班

6

7

8

班

5

6

7

8

（Ⅰ）試估計班學(xué)生人數(shù)；

（Ⅱ）從班和班抽出來的學(xué)生中各選一名，記班選出的學(xué)生為甲，班選出的學(xué)生為乙，若學(xué)生鍛煉相互獨立，求甲的鍛煉時間大于乙的鍛煉時間的概率.

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【題目】如圖，在梯形中，，，四邊形

為矩形，平面平面，.

（I）求證：平面；

（II）點在線段上運動，設(shè)平面與平面所成二面角的平面角為，

試求的取值范圍.

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【題目】如圖，已知中，角的對邊分別為，．

（Ⅰ）若，求面積的最大值；

（Ⅱ）若，求.

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【題目】如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點，△DBC，△ECA，△FAB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)△ABC的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_______。

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【題目】如圖，在幾何體中，，均與底面垂直，且為直角梯形，，，，，分別為線段，的中點，為線段上任意一點.

（1）證明：平面.

（2）若，證明：平面平面.

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