【題目】已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)若,證明:.
【答案】(1)見解析;(2)證明見解析.
【解析】
(1)求出函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù),對實(shí)數(shù)分和兩種情況討論,分析導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上符號的變化,由此可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)證法一:構(gòu)造函數(shù),其中,利用導(dǎo)數(shù)分析得知函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù),由可得出;
證法二:分和時,在時,由函數(shù)在上的單調(diào)性可得出,在時,由(1)中的結(jié)論,結(jié)合可證明出,綜合得出結(jié)論.
(1)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,,
若時,則,此時在單調(diào)遞減,
若時,則由得,
當(dāng)時,,函數(shù)在單調(diào)遞減,
當(dāng)時,,函數(shù)在單調(diào)遞增,
綜上所述,當(dāng)時,在單調(diào)遞減;若時,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增;
(2)證法一:設(shè),
,
,
所以在上為減函數(shù),又,所以,
即,即;
證法二:由(1)得,當(dāng)時,在單調(diào)遞減,
因,所以,
當(dāng)時,在單調(diào)遞減.
因?yàn)?/span>,所以,
又因?yàn)?/span>,所以,所以.
綜上所述,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某保險公司的某險種的基本保費(fèi)為(單位:元),繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人,續(xù)保人本年度的保費(fèi)與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下:
上年度出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | |
保費(fèi)(元) |
隨機(jī)調(diào)查了該險種的400名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況,得到下表:
出險次數(shù) | 0 | 1 | 2 | 3 | |
頻數(shù) | 280 | 80 | 24 | 12 | 4 |
該保險公司這種保險的賠付規(guī)定如下:
出險序次 | 第1次 | 第2次 | 第3次 | 第4次 | 第5次及以上 |
賠付金額(元) | 0 |
將所抽樣本的頻率視為概率.
(Ⅰ)求本年度續(xù)保人保費(fèi)的平均值的估計(jì)值;
(Ⅱ)按保險合同規(guī)定,若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險3次,則可獲得賠付元;若續(xù)保人在本年度內(nèi)出險6次,則可獲得賠付元;依此類推,求本年度續(xù)保人所獲賠付金額的平均值的估計(jì)值;
(Ⅲ)續(xù)保人原定約了保險公司的銷售人員在上午10:30~11:30之間上門簽合同,因?yàn)槔m(xù)保人臨時有事,外出的時間在上午10:45~11:05之間,請問續(xù)保人在離開前見到銷售人員的概率是多少?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面內(nèi),將一個圖形繞一點(diǎn)按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度,這樣的運(yùn)動叫做圖形的旋轉(zhuǎn),如圖,小盧利用圖形的旋轉(zhuǎn)設(shè)計(jì)某次活動的徽標(biāo),他將邊長為a的正三角形ABC 繞其中心O逆時針旋轉(zhuǎn)到三角形A1B1C1,且.順次連結(jié)A,A1,B,B1,C,C1,A,得到六邊形徽標(biāo)AA1BB1CC1 .
(1)當(dāng)=時,求六邊形徽標(biāo)的面積;
(2)求六邊形徽標(biāo)的周長的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,是圓的直徑,點(diǎn)是圓上異于,的點(diǎn),直線平面,,分別是,的中點(diǎn).
(Ⅰ)記平面與平面的交線為,試判斷直線與平面的位置關(guān)系,并加以證明;
(Ⅱ)設(shè),求二面角大小的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為檢查某工廠所生產(chǎn)的8萬臺電風(fēng)扇的質(zhì)量,抽查了其中20臺的無故障連續(xù)使用時限(單位:小時) 如下:
248 256 232 243 188 268 278 266 289 312
274 296 288 302 295 228 287 217 329 283
分組 | 頻數(shù) | 頻率 | 頻率/組距 |
總計(jì) | 0.05 |
(1)完成頻率分布表,并作出頻率分布直方圖;
(2)估計(jì)8萬臺電風(fēng)扇中有多少臺無故障連續(xù)使用時限不低于280小時;
(3)用組中值(同一組中的數(shù)據(jù)在該組區(qū)間的中點(diǎn)值)估計(jì)樣本的平均無故障連續(xù)使用時限.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列四個命題:①任意兩條直線都可以確定一個平面;②若兩個平面有3個不同的公共點(diǎn),則這兩個平面重合;③直線a,b,c,若a與b共面,b與c共面,則a與c共面;④若直線l上有一點(diǎn)在平面α外,則l在平面α外.其中錯誤命題的個數(shù)是( 。
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值;
(2)當(dāng)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)時,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校高三年級有、兩個自習(xí)教室,甲、乙、丙名學(xué)生各自隨機(jī)選擇其中一個教室自習(xí),則甲、乙兩人不在同一教室上自習(xí)的概率為________.
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