Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）當(dāng)函數(shù)有兩個極值點(diǎn)時，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）減區(qū)間，增區(qū)間 ，極小值為，無極大值；（2）.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)即可求出單調(diào)區(qū)間以及極值；

（2）求出的導(dǎo)函數(shù)，使導(dǎo)函數(shù)有兩個根，采用分離參數(shù)法，結(jié)合（1）中的值域即可求出參數(shù)的取值范圍．

解：（1）由，

則，

令，則，

令，即，解得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；

令，即，解得，

所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；

因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在處取得極小值，極小值，無極大值.

綜上所述，單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)遞減區(qū)間為；極小值為2，無極大值；

（2）由，

則，

若有兩個極值點(diǎn)，則有兩個根

即有兩解，即，

即與有兩個交點(diǎn)，

由（1）可知在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，

，所以；

考慮函數(shù)，，

由洛必達(dá)法則：，

，，

所以若與有兩個交點(diǎn)，則．