Question

3．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且角B，A，C成等差數(shù)列．
（1）若a²-c²=b²-mbc，求實數(shù)m的值；
（2）若a=$\sqrt{3}$，b-c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由角B，A，C成等差數(shù)列以及三角形的內(nèi)角和公式知A=60°，再由余弦定理和已知的條件可得cosA=$\frac{m}{2}=\frac{1}{2}$，解得 m的值．
（2）由（1）知A=60°，又已知a=$\sqrt{3}$，故由余弦定理得b2+c2-2bc•$\frac{1}{2}$=3，結(jié)合條件求得bc=6，由此求得△ABC的面積．

解答 解：（1）由角B，A，C成等差數(shù)列以及三角形的內(nèi)角和公式知A=60°，
又由a²-c²=b²-mbc可以變形得 $\frac{^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{bc}$=$\frac{m}{2}$．
再由余弦定理可得cosA=$\frac{m}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得 m=1． …（4分）
（2）由（1）知A=60°，又已知a=$\sqrt{3}$，
故由余弦定理得b²+c²-2bc•$\frac{1}{2}$=3，
∴（b-c）²-bc=3．
∵已知b-c=3，
∴9-bc=3，
∴bc=6．
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$•6•$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．    …（8分）

點評 本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)，三角形中的幾何運算以及正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．