Question

已知函數(shù)f（x）=

1

2

ax²-2lnx，a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，可得切線的斜率，求出切點坐標(biāo)，利用點斜式可得切線方程；
（Ⅱ）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的取值范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，f（x）=

1

2

x²-2lnx+x，f（1）=

1

2

，
∵f′（x）=x-

2

x

，
∴切線的斜率k=f′（1）=-1，
∴切線方程為：y-

1

2

=-（x-1），
即2x+2y-3=0；
（Ⅱ）由題意知：f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

ax2-2

x

（x＞0），
a≤0時，f′（x）＜0，f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，+∞），
a＞0時，f（x）在（0，

2 a

）遞減，在（

2 a

，+∞）遞增．

點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，正確求導(dǎo)，合理分類是關(guān)鍵．