Question

7．如圖，ABCD-A′B′C′D′為長方體，底面是邊長為a的正方形，高為2a，M，N分別是CD和AD的中點．
（1）判斷四邊形MNA′C′的形狀；
（2）求四邊形MNA′C′的面積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)棱柱的幾何特征和三角形中位線定理，可得MN∥A′C′∥AC，且MN=$\frac{1}{2}$A′C′=$\frac{1}{2}$AC，進而可判斷四邊形MNA′C′的形狀；
（2）利用勾股定理，求出梯形的高，代入梯形面積公式，可得答案．

解答 解：（1）∵ABCD-A′B′C′D′為長方體，底面是邊長為a的正方形，M，N分別是CD和AD的中點．
∴AC=$\sqrt{2}$a，MN∥A′C′∥AC，且MN=$\frac{1}{2}$A′C′=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，
故四邊形MNA′C′為梯形；
（2）由長方體ABCD-A′B′C′D′的高為2a，
故梯形的高為$\sqrt{（2a）^{2}+（\frac{\sqrt{2}}{2}a-\frac{\sqrt{2}}{4}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{66}}{4}$a，
故四邊形MNA′C′的面積S=$\frac{1}{2}$（$\frac{\sqrt{2}}{2}a$+$\sqrt{2}$a）×$\frac{\sqrt{66}}{4}$a=$\frac{3\sqrt{33}}{8}$a²．

點評 本題考查的知識點是棱柱的幾何特征，梯形面積的求法，難度不大，屬于基礎題．