Question

19．已知函數(shù)f（x）=（x-1）²+a（lnx-x+1）（其中a∈R，且a為常數(shù)）
（1）若對于任意的x∈（1，+∞），都有f（x）＞0成立，求a的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，若方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一個實根，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求導f′（x）=2（x-1）+a（$\frac{1}{x}$-1）=（x-1）（2-$\frac{a}{x}$），且f（1）=0+a（ln1-1+1）=0，從而討論以確定函數(shù)的單調性，從而解得；
（2）化簡f（x）+a+1=（x-1）²+a（lnx-x+1）+a+1，從而討論以確定函數(shù)的單調性，從而解得．

解答 解：（1）∵f（x）=（x-1）²+a（lnx-x+1），
∴f′（x）=2（x-1）+a（$\frac{1}{x}$-1）=（x-1）（2-$\frac{a}{x}$）；
且f（1）=0+a（ln1-1+1）=0，
①當a≤2時，f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，
故f（x）＞=f（1）=0；
②當a＞2時，
可知f（x）在（1，$\frac{a}{2}$）上是減函數(shù)，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上是增函數(shù)；
故f（$\frac{a}{2}$）＜0；
綜上所述，a≤2；
（2）f（x）+a+1=（x-1）²+a（lnx-x+1）+a+1，
當a＜0時，f（x）+a+1在（0，1]上是減函數(shù)，在（1，2]上是增函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（（x-1）²+a（lnx-x+1）+a+1）=+∞，
f（1）+a+1=a+1，f（2）+a+1=1+a（ln2-1）+a+1；
故a+1=0或1+a（ln2-1）+a+1＜0；
故a=-1或a＜-$\frac{2}{ln2}$；
當a=0時，f（x）+a+1=（x-1）²+1＞0，故不成立；
當0＜a＜2時，
f（x）+a+1在（0，$\frac{a}{2}$]上是增函數(shù)，在（$\frac{a}{2}$，1]上是減函數(shù)，在（1，2]上是增函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（（x-1）²+a（lnx-x+1）+a+1）=-∞，
f（1）+a+1=a+1＞0，
故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一個實根，
當a=2時，f（x）+a+1=（x-1）²+2（lnx-x+1）+2+1=（x-1）²+2（lnx-x+1）+3，
故f（x）在（0，2]上是增函數(shù)；
且$\underset{lim}{x→{0}^{+}}$（（x-1）²+2（lnx-x+1）+3）=-∞，f（1）=3＞0；
故方程f（x）+a+1=0在x∈（0，2]上有且只有一個實根，
綜上所述，a＜-$\frac{2}{ln2}$或a=-1或0＜a≤2．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用及分類討論的思想應用，同時考查了方程的根與函數(shù)的零點的關系應用．