Question

7．如圖，矩形ABCD中，AB=2，BC=4，以矩形ABCD的中心為原點(diǎn)，過矩形ABCD的中心平行于BC的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，
（1）求到直線AD、BC的距離之積為1的動點(diǎn)P的軌跡；
（2）若動點(diǎn)P分別到線段AB、CD中點(diǎn)M、N的距離之積為4，求動點(diǎn)P的軌跡方程，并指出曲線的性質(zhì)（對稱性、頂點(diǎn)、范圍）；
（3）已知平面上的曲線C及點(diǎn)P，在C上任取一點(diǎn)Q，線段PQ長度的最小值稱為點(diǎn)P到曲線C的距離．若動點(diǎn)P到線段AB的距離與射線CD的距離之積為4，求動點(diǎn)P的軌跡方程，并作出動點(diǎn)P的大致軌跡．

Answer 1

分析 （1）利用到直線AD、BC的距離之積為1，建立方程，即可求出動點(diǎn)P的軌跡；
（2）$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=4，化簡可得結(jié)論；
（3）同時從幾何和代數(shù)角度進(jìn)行分析，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）設(shè)P（x，y），則|y-1||y+1|=1…2分
化簡得y=±$\sqrt{2}$或y=0．
故動點(diǎn)P的軌跡為三條平行線；…4分
（2）$\sqrt{（x+2）^{2}+{y}^{2}}$•$\sqrt{（x-2）^{2}+{y}^{2}}$=4，
化簡得 $（\sqrt{{x}^{2}+1}-2）^{2}+{y}^{2}=1$
對稱性：關(guān)于原點(diǎn)、x、y軸對稱；…6分
頂點(diǎn)：（2$\sqrt{2}$，0），（-2$\sqrt{2}$，0），（0，0）；…8分
范圍：|x|≤2$\sqrt{2}$，|y|≤1…10分
（3）同時從幾何和代數(shù)角度進(jìn)行分析
當(dāng)y＜-1時，y=-1-$\sqrt{4\sqrt{{x}^{2}+1}-{x}^{2}-4}$，…12分
當(dāng)-1≤y≤1時，x=±2$\sqrt{2}$或x=0，…14分
當(dāng)y＞1時，y=1+$\sqrt{\frac{16}{（x-2）^{2}}-（x+2）^{2}}$，…16分
作軌跡大致如圖．分三個區(qū)域給分：
①在直線y=-1的下方：兩段曲線；
②在兩直線y=-1，y=1之間：三條平行線；
③在直線y=1的上方：三條曲線．…18分．

點(diǎn)評 本題考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定軌跡方程是關(guān)鍵．