Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為（-2，0），離心率e=

6

3

．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，T為直線x=-3上一點(diǎn)，過F作TF的垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，當(dāng)四邊形OPTQ是平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)T的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）由已知得

c

a

=

6

3

，c=2，解得a=

6

，由此能求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，m），則直線TF的斜率k_TF=

m-0

-3-(-2)

=-m，當(dāng)m≠0時(shí)，直線PQ的斜率k_PQ=

1

m

，直線PQ的方程是x=my-2，當(dāng)m=0時(shí)，直線PQ的方程是x=2，也符合x=my-2的形式，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，得（m²+3）y²-4my-2=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理、向量知識(shí)能求出T點(diǎn)坐標(biāo)．

解答： 解：（1）由已知得

c

a

=

6

3

，c=2，解得a=

6

，
由a²=b²+c²，解得b=

2

，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

x2

6

+

y2

2

=1．
（2）設(shè)T點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3，m），
則直線TF的斜率k_TF=

m-0

-3-(-2)

=-m，
當(dāng)m≠0時(shí)，直線PQ的斜率k_PQ=

1

m

，
直線PQ的方程是x=my-2，當(dāng)m=0時(shí)，直線PQ的方程是x=2，
也符合x=my-2的形式，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
將直線PQ的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，
得

x=my-2 x2 6 + y2 2 =1

，消去x，得（m²+3）y²-4my-2=0，
其判斷式△=16m²+8（m²+3）＞0，
∴y1+y2=

4m

m2+3

，y1y2=

-2

m2+3

，
x₁+x₂=m（y₁+y₂）-4=

-12

m2+3

，
∵四邊形OPTQ是平行四邊形，
∴

OP

=

OT

，即（x₁，y₁）=（-3-x₂，m-y₂），
∴

x1+x2= -12 m2+3 =-3 y1+y2= 4m m2+3 =m

，
解得m=±1，
此時(shí)，T點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，1）或（-3，-1）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足四邊形為平行四邊形時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．